重積分を教えてください。

質問

∬√(y^2-x^2) dxdy D:|x|≦y≦1

回答No.2

info222_

I=∬[D]√(y^2-x^2) dxdy, D:={(x,y)| |x|≦y≦1}
=2∫[0,1] {∫[0,y] (y^2-x^2)^(1/2) dx}dy
=2∫[0,1] I1 dy

I1=∫[0,y] (y^2-x^2)^(1/2) dx, (0≦x≦y≦1)
=[(x/2)(y^2-x^2)^(1/2)+(y^2/2)sin^-1(x/y)][0,y]
=(y^2/2)sin^-1(1)=(π/4)y^2

I=(π/2)∫[0,1] y^2 dy
=(π/2)[(1/3)y^3][0,1]
=(π/2)(1/3)
=π/6 ... (答)

回答No.1

noname#232123

I=∫[0 to 1]{∫[-y to y]√{y^2-x^2}dx}dy
=∫[0 to 1](1/2)pi*y^2dy
=(1/6)pi.
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※極座標への変換は、
I=∫[(1/4)pi to (3/4)pi]∫[0 to 1/sinφ]r*√{sin^2(φ)-cos^2(φ)}*rdrdφ
となりますがうまくいきません。