重積分の問題です。

質問

（1）∬D(x+y)e^(x-y)dxdy D:-1≦ｘ＋ｙ≦１　-1≦y-x≦1
(2)∬D(x^2+y^2)dxdy D:x^2+y^2≦y
について解答解説をお願いします！

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
u=x+y,v=y-xと置換積分すると簡単に積分できる。
x=(u-v)/2,y=(u+v)/2,|J|=1/2
dxdy=(1/2)dudv
I={∫[-1,1] udu}{∫[-1,1]e^(-v)dv}
=0

(2)
x=rcosθ,y=rsinθと極座標に変数変換
x^2+y^2=r^2,dxdy=rdrdθ
D→E={r,θ|0≦r≦sinθ,0≦θ≦π}

I=∫[0,π]{∫[0,sinθ] r^3dr}dθ
=∫[0,π]{(1/4)(sinθ)^4}dθ
=(2/4)(1/4)∫[0,π/2]{1-cos(2θ)}^2dθ
=(1/8)∫[0,π/2]{1-2cos(2θ)+(1/2)+(1/2)cod(4θ)}dθ
=(1/8)(3π/4)=3π/32

補足

ありがとうございます。
でも
（2）の答えがちがうみたいです。

回答No.2

info22_

>でも
>（2）の答えがちがうみたいです。
そうなら質問者さんのお持ちの答えが間違っていますね。
答えの作成者に間違っていないか問い合わせてみてください。
正しい答えは1通りしかありません。

正しい積分結果が
「3π/32」となることは別の逐次積分法の2通りの積分法で
数式ソフトおよび積分サイトを使って確認済みです。
たとえば
http://www.wolframalpha.com/
で
2*integrate(integrate(x^2+y^2,[x,0,sqrt(y-y^2)]),[y,0,1])
と入力してご自分で実行して確認してみてください。
「3π/32」を数値で表した結果の
　0.2945243112740431161058728171824533953934846311914161707164...
が得られます。

お礼

申し訳ございません。
正しかったです。
丁寧に解説していただきありがとうございました。