行列A'Aの固有値と行列Aの固有値の関係性

質問

行列Aの固有値だけから、
A'Aの固有値を求める方法はありますか。

例えば、A*Aの固有値は行列Aの固有値の2乗になると思うのですが、
A'Aの場合のAの固有値とA'Aの固有値に関係性があれば知りたいです。

A'Aの行列式(A'Aの固有値の積)は、行列Aの行列式(Aの固有値の積)の2乗になることはわかりましたが、個別の固有値を知りたいです。具体的なA'Aの固有値が分からなくても、それぞれの固有値が比例するなどの関係性でも教えていただければ幸いです。

Aは下三角行列で、
A’は行列Aの逆行列です。

よろしくお願いします。

回答No.2

zizizy · ベストアンサー

2次の行列で実験してみました。
A =
[a, 0]
[c, b]
とします。A の固有値はa と bです。
このとき，
A' A =
[a^2 + c^2, bc]
[bc, b^2]
で固有値を計算すると，
(p ± (p^2 - 4a^2 b^2)^(1/2) ) / 2
となります。ただし，p = a^2 + b^2 + c^2。
A の固有値はa と bですから，A' A の固有値は A の固有値だけで決まることはありません。
行列の次数が大きくなっても同様でしょう。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。

回答No.1

tmppassenger

「A’は行列Aの逆行列」というなら、A'Aは単位行列で固有値は全て1でしょう？

補足

すみません！転置行列の間違いでした！