対角化不能行列の射影分解について

質問

japla.sakura.ne.jp/workshop/workshop/2009/spectol_decomp.pdf
にて質問です。

3×3行列での例が載ってますがn×n行列の場合だと.

(1) 全ての固有値が異なる場合(全て単因子)は1ページからλ_1,λ_2,…,λ_n,Aの固有多項式がΠ_{i=1..n}(λ-λ_i)なら
P_k=(Π_{i=1..n,i≠k}(A-λ_iI))/(Π_{i=1..n,i≠k}(λ_k-λ_iI)), k=1,2,…,n.
A=Σ_{i=1..n}λ_iP_i.
と書けるのですよね? (間違ってましたらご指摘下さい)

そして

(2) 対角可能で重複因子がある場合は10ページからλ_1,λ_2,…,λ_m (m<n), Aの固有多項式がΠ_{i=1..m}(λ-λ_i)^{l_i} (l_1+l_2+…+l_m=n)なら
P_k=(Π_{i=1..m,i≠k}(A-λ_iI))/(Π_{i=1..m,i≠k}(λ_k-λ_iI)), k=1,2,…,m.
と書けるのでしょうか?

更に

(3) 対角化不能の場合は14ページからλ_1,λ_2,…,λ_m (m<n),Aの固有多項式がΠ_{i=1..m}(x-λ_i)^{l_i} (l_1+l_2+…+l_m=n)なら
Φ(λ)=Π_{i=1..m}(x-λ_i)^{l_i}.
1/Φ(λ)=Σ_{i=1..m}g_i(λ)/(λ-λ_i)^{l_i}と部分分数を得て,通分すると,
1=Σ_{i=1..m}Φ(λ)g_i(λ)/(λ-λ_i)^{l_i}で,
P_k=Φ(λ)g_k(λ)/(λ-λ_k)^{l_k}|_{λ=A}, k=1,2,…,m.
これから,Sは
S=Σ_{i=1..m}λ_iP_i
と書けるのですよね? (12ページの(6)は意味がよくわかりませんでした)
この時,
Nは一体どのように書けるのでしょうか?

回答No.2

jcpmutura

そのp14の例では,
A=
(2,0,1)
(-1,3,1)
(1,-1,2)

固有値3,2,2

P1
(0,1,0)
(0,1,0)
(-1,1,1)

P2=
(1,-1,0)
(0,0,0)
(1,-1,0)

S=2P_1+3P_2

N=(A-2I)P_1+(A-3I)P_2

(A-3I)P_2
=
(-1,0,1.)(1,-1,0)
(-1,0,1.)(0,0.,0)
(1,-1,-1)(1,-1,0)
=
(0,0,0)
(0,0,0)
(0,0,0)
=0
だから
∴
N=(A-2I)P_1

お礼

遅くなりましてすみません。

なるほどです。大変ありがとうございます。

回答No.1

jcpmutura

(1)
P_k=(Π_{i=1..n,i≠k}(A-λ_iI))/(Π_{i=1..n,i≠k}(λ_k-λ_iI))
ではなく
P_k=(Π_{i=1..n,i≠k}(A-λ_iI))/(Π_{i=1..n,i≠k}(λ_k-λ_i))

k=1,2,…,n
A=Σ_{i=1..n}λ_iP_i
と書ける

(2)
P_k=(Π_{i=1..m,i≠k}(A-λ_iI))/(Π_{i=1..m,i≠k}(λ_k-λ_iI))
ではなく
P_k=(Π_{i=1..m,i≠k}(A-λ_iI))/(Π_{i=1..m,i≠k}(λ_k-λ_i))

k=1,2,…,m
A=Σ_{i=1..m}λ_iP_i
と書ける

(3)
Φ(λ)=Π_{i=1..m}(x-λ_i)^{l_i}
ではなく
Φ(λ)=Π_{i=1..m}(λ-λ_i)^{l_i}

1/Φ(λ)=Σ_{i=1..m}g_i(λ)/(λ-λ_i)^{l_i}
1=Σ_{i=1..m}Φ(λ)g_i(λ)/(λ-λ_i)^{l_i}
P_k=Φ(λ)g_k(λ)/(λ-λ_k)^{l_k}|_{λ=A}
k=1,2,…,m
S=Σ_{i=1..m}λ_iP_i
N=Σ_{i=1..m}(A-λ_iI)P_i
A=S+N
と書ける

補足

> (1)
> P_k=(Π_{i=1..n,i≠k}(A-λ_iI))/(Π_{i=1..n,i≠k}(λ_k-λ_iI))
> ではなく
:
> ではなく
> Φ(λ)=Π_{i=1..m}(λ-λ_i)^{l_i}

これは失礼致しました。ご指摘有難うございます。

> 1/Φ(λ)=Σ_{i=1..m}g_i(λ)/(λ-λ_i)^{l_i}
> 1=Σ_{i=1..m}Φ(λ)g_i(λ)/(λ-λ_i)^{l_i}
> P_k=Φ(λ)g_k(λ)/(λ-λ_k)^{l_k}|_{λ=A}
> k=1,2,…,m
> S=Σ_{i=1..m}λ_iP_i
> N=Σ_{i=1..m}(A-λ_iI)P_i
> A=S+N
> と書ける

S,Nともm個の和なのですよね。
japla.sakura.ne.jp/workshop/workshop/2009/spectol_decomp.pdf
のp14の例では,
Sは2個の和2P_1+3P_2ですがNは1個の和(A-2I)P_1となっていて項数が一致しないのですがこれについてはどのように解釈すればいいのでしょうか?