ロピタル等・・・

質問

fn(x)=n^2xe^(-nx)とする。

（１）０≦ｘ≦１のときlim(n→∞)fn(x)を求めよ。
（2）∫[0,1]lim(n→∞)fn(x)dx=lim(n→∞)∫[0,1]fn(x)dxは成り立つか調べよ。

がわかりません。（１）はロピタルを使うことはわかるのですが・・・

よろしくお願いします。

回答No.1

alice_38 · ベストアンサー

(1)
個人的にロピタルの定理があまり好きでない
ので、他の方法で。

e~z をマクローリン展開すると、
z ＞ 0 のとき、正項級数になるので、
打ち切り誤差が正になって、
e~(nx) ＞ 1 + nx + (1/2)(nx)~2 + (1/6)(nx)~3。
よって、
(n~2)xe~(-nx) ＜ (n~2)x/( 1 + nx + (1/2)(nx)~2 + (1/6)(nx)~3 )。
この式で lim(n→∞) とすれば、
与式 = 0 と解る。

お礼

ありがとうございます！
すごくたすかりました。

回答No.2

alice_38

(2)
前の小問より、左辺 = 0。
右辺は、nx = y とでもして、部分積分すると、
= lim(n→∞)｛ 1 - (1 + 1/n)e~(-1/n) ｝= 0。