ロピタルの定理を使った問題について

質問

この3つ問題が分かりませんでした。　教えてください宜しくお願いします。
途中まで解いたのですが、そこから進みません。回答と違ってしまいます。

(1)lim[x→∞]　logx/e^x

＝(1/x) / e^x

(2)lim[x→+0]　x logx^2

= (logx^2) / (1/x)

(3)lim[x→∞]　xe^(1-x)

全ての回答がゼロです。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

(1)
lim[x→∞] (log x)/e^x = (1/x) / e^x じゃなく、
lim[x→∞] (log x)/e^x = lim[x→∞] (1/x) / e^x でしょう？

lim[x→∞] (1/x) = 0,　lim[x→∞] e^x = ∞ なのだから、
lim[x→∞] (1/x) / e^x = 0 です。
ロピタルの定理は、不用意に便利過ぎて、摘要条件や
ひどい場合は使い方すら理解せずに、何となく運用している人が
少なくありません。だから、必要も無いときにやたらと使うな…
と、機会あるごとに書いているのですが。

この例も、
lim[x→∞] (log x)/e^x = lim[x→∞] { (log x)/x }{ x/e^x }
で処理できます。

(2)
lim[x→+0] x log(x^2) = 2 lim[x→+0] x log(x)
= 2 lim[y→∞] -y/e^y　　←{y = -log(x) で置換}

(3)
lim[x→∞] xe^(1-x) = lim[x→∞] xe/e^x

lim[x→∞] x/e^x が解らなければ重篤ですが、
証明を要するということであれば、e^x のマクローリン展開を
途中で打ち切って e^x < 1 + x + x^2/2 から
0 < x/e^x < x/(1 + x + x^2/2) とハサミウチにできます。

lim[x→∞] (log x)/x = lim[z→∞] z/e^z も、同じことですね。

お礼

ありがとうございます。とても参考になります。ロピタルの定理、とりあえず分からずに使っていました。理解が深まりました。

回答No.3

info22_

>全ての回答がゼロです。
回答　×
解答　○
全ての解答はゼロで合っています。

(1)lim[x→∞]log(x)/e^x
∞/∞型なのでロピタルの定理を適用
=lim[x→∞](1/x) / e^x
=lim[x→∞]1/(xe^x) ←1/∞型
=0

(2)lim[x→+0]　xlog(x^2)　　←xを分母に持っていく
=lim[x→+0]log(x^2)/(1/x)
-∞/∞型なのでロピタルの定理適用して
=lim[x→+0](2x/x^2)/(-1/x^2)　←約分
=-2lim[x→+0]x ← 0型

(3)lim[x→∞]xe^(1-x)
=lim[x→∞]xe/e^x
= e lim[x→∞]x/e^x
∞/∞型なのでロピタルの定理適用して
= e lim[x→∞] 1/e^x ←1/∞型

お礼

ありがとうございます。とても参考になります。嬉しいことに、だんだんと分かってきました。

回答No.2

Tacosan

あ, (2) は (logx^2) / (1/x) のままいきゃいいんだ.

お礼

ありがとうございます。とても参考になります。

回答No.1

Tacosan

(1) (1/x)/e^x = 1/(xe^x)
(2) log x^2 = 2log x
(3) xe^(1-x) = ex/e^x

お礼

ありがとうございます。とても参考になります。