上限と下限

質問

上限と下限に関する質問です。

以下の図のinfとsupを求めなさい。
(1)D={a,b,c,d,e}に対して、次のHasse図はD上の順序を定義する。

(2)A={1,2,3,4,6,9,12}上の整除順序によるHasse図

解：
(1)infD=φ　supD={d}
(2)inf A={1} supA=φ

となっています。
なぜ(1)のinfDと(2)のsupAはφになるのでしょうか。

どなたかわかる方がいらっしゃいましたらどうぞ
よろしくお願いいたします。

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

「なし」というのは、文字通り存在しないということです。
φは、空集合といって、「何も含まない集合」です。

定義から、「上界」は、「ある集合のすべての要素より小さくない（大きいという定義でないのは、等しくても良いから）」要素の集合です。
ですので、「上界」は、（何もないときには）φです。

一方で、「上限」は、「上界という集合における要素の要素」ですから、（何もないときには）「なし」が正解です。

補足

ありがとうございます。

ということは、infやsupというのはφにはならないということではないのでしょうか…。
上限や下限というのは集合の要素、つまり集合自体ではないので、φという集合にはなりえないのではないのでしょうか。でもそうするとこの問題の答えが間違っているような気もするのですが。。

理解力がなくすみません。。

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

infD=φ のほう。

下限とは、下界のうちの、最大のものです。（定義）
D の下界とは、D のすべての要素に対して、「大きくないもの」の集合です。

「順序」は、推移律を満たすので、d は、他のどの要素よりも「ちいさくない」ものです。
d > c, d > b （直接の関係から）
d > e （推移律 d > c, c > e から）
d > a （推移律 d > c, c > a または、d > b, b > a から）

逆に、Dのすべての要素に対して、「大きくないもの」は存在しません。
a : e との順序関係が決定できない
b : a よりも大きい
c : a よりも大きい（e よりも大きい）
d : c よりも大きい（b よりも大きい）
e : a との順序関係が決定できない
つまり、定義から、D の下界は空です。
当然、下限も存在しません。

あと、上界・下界は、集合ですが、上限・下限は単一の要素だった気がするので、sup や inf を集合の記号で表すのは、？ な気がします。

補足

ありがとうございます。
もう1点わからないことがあるのですが。。

定義からDの下界が空というのはわかりました。
しかし、問題によって
「上界　なし、supA　なし」
という場合があるのですが、
この”なし”と”φ”の違いは何なのでしょうか？