上限の定義についてお願いします。

質問

上限の定義についてお願いします。

集合Aは上に有界で、上限をaとすると、任意の正数εに対して、a-ε<b、b∈Aとなるのはなぜですか？

証明をお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

ああ, 「位相空間」という表現はよくなかったなぁ.
どのような順序集合を背景にしているのですか?
あとついでにいうと, これは「上限の定義」じゃないよね.

回答No.3

tosca2010

Aの上限とは、Aの上界の最小元のことです。（これが定義になります。）

次に
a = sup A ⇒ ∀ε > 0, ∃b < A s.t. a - ε < b
ですが、もしこのような b が A に存在しないならば
∃ε > 0 s.t. x ≦ a - ε (for all x ∈ A)
ですから、a - ε はAの上界であり、a よりも小さいため、
a が最小の上界であることに矛盾します。

回答No.1

Tacosan

これだけでは証明できないなぁ.
どのような位相空間を前提にしているのか, きちんと書いてくれないと....