大学の力学の問題についての質問です。

質問

太陽系における地球の運動を考える。太陽の質量をM、地球の質量をｍとする。簡略化のため、それぞれを質点とみなし、地球以外の惑星の存在は無視する。太陽の質量は地球の質量に比べて十分に大きく、太陽は動かないものとする。ただし、太陽と地球以外に、ある物質Aが太陽系全体に分布しているとする。
　このとき、以下の問いに答えよ。物質Aは、太陽を中心として球対象に一様な密度ρで分布し、太陽系の外（地球の軌道から十分に離れたところ）には存在しないとする。また、地球と物質Aの摩擦は無視できるとし重力のみに考えればよい。重力定数はGとする。

問１
太陽を中心として、地球の位置を（↑r）で表す。この点でのポテンシャルエネルギーをV（↑r）をする。ポテンシャルをｒで表せ。

問２地球のラグラジアンを書け。（太陽を原点とする極座標を用いよ
）

問３
地球の全エネルギーEを角運動量Lを用いて表せ。

問４
地球の有効ポテンシャルU(r)を求めよ。

問５
地球が、距離ｒ＝ｒ0の位置で円軌道を描いて運動しているとする。この円運動の角速度の大きさω0を求め、ｍ、ｒ0を用いて表せ。

です。
　多くと申し訳ございません。。。
　最初が分かれば何とかなると思うのですが宜しくお願いします。

回答No.3

yokkun831

何度もすみません。訂正と補足です。

>V(r) = -G(M+ρ・4/3・πr^3)m/r = -GMm/r - 4/3・πGρm・r^2

これは，まちがいでした。引力が

F(r) = -GMm/r^2 - G(ρ・4/3・πr^3)m/r^2

ですから，第１項は無限遠基準，第２項は原点基準として積分して

V(r) = -GMm/r + G(ρ・4/3・π)mr^2/2

でしたね。

また，問５は円軌道の安定条件

[dU(r)/dr]_{r=r0} = 0

から求めるのが，よりエレガントで題意にそうと思われます。

回答No.2

yokkun831

補足です。

問５

等速円運動なので、半径方向の運動方程式

m r0 ω0^2 = [dV(r)/dr]_{r=r0}

から求めればよいようですね。

回答No.1

yokkun831

概略・ヒントのみとさせていただきます。

問１

物質Aは球対称であるから、Aからの引力は半径rの内側にあるAの質量が中心に集中した場合に等しい。したがって、

V(r) = -G(M+ρ・4/3・πr^3)m/r = -GMm/r - 4/3・πGρm・r^2

問２

運動エネルギー　T = 1/2・m(r'^2 + r^2φ'^2)　　※以下「'」は時間微分
位置エネルギー　V(r)
ラグランジアン　La = T - V

問３

L = mr^2φ'　　∴　φ' = L/(mr^2)
E = T + V

問４

E(r,r') = T(r,r') + V(r) = 1/2・mr'^2 + U(r)

問５

L = mr0^2ω0