量子力学と重力について

質問

等価原理によれば、重力場中の質点の配位空間の軌道は質点の質量には依らないとされています。しかし量子力学では軌道が質量に依存してしまうように思われます。質量Mの質点が作る重力場の中を質量mの質点が運動するとします。(M≫m)。このときボーア半径に相当するものを求めると、
　a = h^2/me^2　(ただしｈはｈバーを表す)
の中でe^2をGMmで置き換えれば良いはずだから
　a = h^2/GMm^2
となって半径がｍに依存してしまいます。そこで教えていただきたいのですが、
(1)現在、重力相互作用も取り入れた統一理論として超弦理論が作られています。超弦理論では上のような等価原理と量子力学の矛盾はどのように説明されるのでしょうか。
(2)素粒子に作用する地球の重力は非常に微弱で測定するのは困難です。しかし中性子干渉計を用いてそのような測定がなされています。その場合、量子力学の計算はハミルトニアンのポテンシャルを重力ポテンシャルとして計算すれば良いのでしょうか。もしそうだとすると上のように等価原理が破れていることになってしまわないのでしょうか。

回答No.2

noname#108554

(2)のみです。

>量子力学の計算はハミルトニアンのポテンシャルを
>重力ポテンシャルとして計算すれば良いのでしょうか。

そうみたいです。実際、J.J.Sakuraiの
Modern Quauntum Mechanics
には、その計算が出ています。
(確か・・・Advancedでは無かったと思うんですが。)
結論は、常識的ですが、

>等価原理が破れていることになってしまわないのでしょうか。

なってしまわないみたいです。
どういう理屈かは忘れました。

お礼

ご回答ありがとうございます。Modern Quauntum Mechanics（和訳）を読んでみました。この本によると「量子力学では重力は幾何学的なものではない。しかしこれは等価原理が重要でないということではない。」とあります。ここで等価原理といっているのは運動エネルギーp^/2mにも、重力ポテンシャルGMm/rにも同じ質量が入ってくるということ(ニュートンの時代からすでに認識されていたこと)に過ぎないようです。しかしこれだけでは重力場の理論はできません。重力場の理論を作るためには局所慣性系を常にとることができ、そこでは特殊相対論が成り立つというような仮定が必要です。したがって重力を幾何学化できないということはやはり非常に困ったことではないでしょうか。

回答No.1

tosiki

久々に大統一理論を見た感じがします。（笑）

超弦理論が現在の所最も証明に近いとされているようですが、25次元の証明で次元が下がらないのが現状です。
下記のURLを紹介します。
ここでは超ヒモ理論と和訳してます。

参考URL：

http://kamakura.ryoma.co.jp/~aoki/paradigm/GrandUnificationTheory.htm

お礼

ご回答ありがとうございます。しかし以下の点でご回答に納得できません。
(1)超ひも理論の次元が25というのは時間を除いた空間の次元と思われますが、時空の次元が26より下がらないということはないと思います。26次元というのはビラソロ条件によりヒルベルト空間のゴーストが除かれる次元として出てきたのだと思いますが、だいぶ以前より10次元でも矛盾のない理論ができることが分かっています。また最近では11次元のM理論に関心が集まっています。
(2)質問をお読みいただくと分かると思うのですが、私が問題にしているのは次元をいかに下げるかということではなく、重力と量子力学をいかに調和させるかということです。