「１つのaがある」の解釈

質問

/代数の入門書を読んでいて疑問に思ったのですが
単位元(積)の存在は公理で次のように謳われています
「任意aに対しae=aとなる一つのeがある」：(1)

で先を読んでいくと
このeがただ１つである証明がされています。

でも一般人は(1)はただ１つと解釈してしまいますよね？
で何が云いたいのかと
(1)は
「任意aに対しae=aとなる少なくとも一つのeがある」
とするべきですよね？
まあ翻訳なので多分'a'を「ある」ではなく「一つの」と
訳してしまったからだと思うのですが
How about?

回答No.3

kabaokaba

とりあえず，「群」だと思うことにして

#1＞
具体的な集合が群になることを証明する際には
「単位元の存在の公理」が満たされることを
証明しなければいけませんが，
公理そのものは正しいとか正しくないの
証明対象ではないです．
それで，「単位元の存在の公理」には
「存在だけ」を要求するのが妥当で，一意性はいれません．
なぜなら，一意性は他の条件から証明されうる定理ですし，
公理に「存在」と「一意性」をいれてしまったら，
具体的な集合が群であることを示すときに
いちいち実際は不要な「一意性」を示さなければいけなく，
無駄です．

さて，本題．
一般人がどう感じようと数学の言葉の慣習ですんで
もうどうしようもありません．
こういうのは他にも「または」がありますね．
「一つの」といったら，
「何でもいいから一個あればいい」
というような感じで，
意味的にはまさに「少なくとも一つ」なんですが，
ただ実際に「少なくとも一つ」というと
No.2さんご指摘のように
「ほんとは他にもあるんだよ」というのを
暗に主張しているようなので，
あんまり「実際には一個しかない」ときには
使わないですね．
実際に一個しかないのかどうか不明だけども，
「とりあえずなんとか一個みっけたぞ，あとはまかせた！」
みたいなときには「少なくとも一つ」を使うことはあるかな
＃組合せ論的確率の場合はまた別のお話．

で，どうするかというと
自分でかくときは，
余計な先入観を排除したいのであれば
ばっさり
「任意のaに対しae=aとなるeがある」．
これで十分です．
＃あれ，左単位元の存在だけでいいだっけ＜一意性
＃まあ，細かいことはこの場合本質ではないからスルーの方向で．

ちなみに，英文だと
There exists an element e such that ae=a for any a.
てな感じかな．不定冠詞anはつくけど，これが「一つ」に
化けるのかもしれません

回答No.2

Tacosan

「公理」はそれ自身が証明です＞#1.
さておき, 「このeがただ１つである証明がされています」ということなら現状で問題ないのでは? 「複数あると仮定しても結局それらはすべて等しい」ということは「ただ 1つ」であることと同じです. つまり「少なくとも 1つ」も「ただ 1つ」も同じことを言っているにすぎないのだから, より混乱を招きにくい「ただ 1つ」の方が適切です.
「少なくとも 1つ」とすると「異なる複数の単位元が存在する」ように読めるんだよね.

回答No.1

root_16

・公理(1)を示す
・公理が正しいことを証明する
の流れだから(1)の表現でOK
「任意aに対しae=aとなるただ一つのeがある」
と言い換えることもできる。

「任意aに対しae=aとなる少なくとも一つのeがある」
に変化させると、1つのeでないケースについて
証明する必要が生じると思います。

お礼

ありがとうございます

1つのeでないケースについて
証明する必要が生じると思います。
→
ですからわざわざ只一つであることが証明されていますが…