行列の積の性質なんですが・・

質問

とてもつまらない質問で恥ずかしいのですが・・行列の積の性質で「AE=EA=A（Eは単位行列）」というのはAE=EAが成り立つときAE=EA=Aが成り立つという意味なのでしょうか？

回答No.6

apple-man · ベストアンサー

この場合、単位行列Eが存在するというところが
重要なのです。

　交換法則と単位行列が存在するというのは、
大学の数学科でやるような群論で扱う、
アーベル群と呼ばれるものの基本性質で、
これが成立するかしないかで全体の
性質が大きく変わってきます。

　今数学をどこまでやられているかわかりませんが、
高校の範囲で、写像という概念を勉強されるはずです。

行列Aの成分が変数だった場合、
AE=A
が成立するというのは、Aという集合を
そのままAに写す（一対一、上への写像　全単射）が
成り立つ写像Eが存在していることを意味します。

上のほうで、大学の数学科と書きましたが、
この群論から導き出される性質は、物理学を
はじめ電気、電子工学の理論に応用されます。

　今は２行２列といった、比較的単純なものを
扱っていると思いますが、Aがもっと複雑になり
それを物理学などに応用するとき、今勉強
されている基本的な性質の知識が役立ちます。

　今は単位行列を使用されていますが、群論では
この概念を拡張して、単位元と言っています。
何かの法則の式が出てきたとき、この
単位元が存在すると証明できれば、今勉強されて
いるもろもろ性質が使えるわけです。

お礼

詳しい解説ありがとうございました！！またよろしくおねがいします！！

回答No.5

noname#24477

ＡＥ＝Ａ
ＥＡ＝Ａ
の２つの式をまとめた、と考えたほうがわかりやすいかも
知れないですね。

どちらからかけても相手を変えないのが単位行列。

もちろんその結果　ＡＥ＝ＥＡ　もいえるわけです。

お礼

大変参考になりました！！ありがとうございました！！

回答No.4

h-kiku

単位行列の性質は、
(1) AE=A
(2) EA=A
の、(1) かつ (2) を満たすため、必然的に
AE=EA
が成立します.

このような回答で理解して頂けるでしょうか.

お礼

ありがとうございました！またよろしくおねがいします！！

回答No.3

fushigichan

mkmmkmさん、こんにちは。

＞行列の積の性質で「AE=EA=A（Eは単位行列）」というのはAE=EAが成り立つときAE=EA=Aが成り立つという意味なのでしょうか？

Eを単位行列とすると、どんな行列Ａをもってきても、
AE=EAとなっています。
つまり、交換法則が成り立っています。
また、Eはどんな行列をかけても、もとの行列にするという行列なので
AE=A,EA=Aとなります。
このことを、まとめて
AE=EA=A
のように書いているのです。

つまり、AE=EAが成り立っていて、それはＡになる、ということですね。

お礼

分かりやすい説明ありがとうございます！またよろしくおねがいします！！

回答No.2

kbannai

高校の数学教員です。

別に恥ずかしく思わなくてもいいのではないですか。わからないことを疑問に思うことは大事です。

行列の積は、数の乗法と異なります。
行列Ａ,Ｂの積ＡＢが（行列のの列数と列ベクトルの次元が一致するときに）定義されても、ＢＡが定義されるとは限りません。

一般に、ＡＢ、ＢＡがともに定義されても、交換法則ＡＢ＝ＢＡは成り立たないのです。

ところが単位行列Ｅを考えると、ＡＥ＝ＥＡであり、それはＡなのです。

お礼

ありがとうございました！大変分かりやすかったです！！

回答No.1

shiga_3

というよりも、単位行列Eは前から掛けても後ろから掛けても答えは元の行列Aと同じになる、という意味です。（数字の計算で1*X=X*1=Xというときの1と同じようなものです）

お礼

そうなんですか！ありがとうございました！！