一般の結合法則について

質問

代数系の公理とその補則？として２項演算をｎ項演算に拡張するため
まず
３項演算への拡張は公理で謳い
A1A2A3=(A1A2)A3=A1(A2A3)
n項演算への拡張として新たに
A1A2A3...An=(A1A2....An-1)An : (1)
と定義したうえで
(1)=(A1A2......Ak-1)(Ak....An)　(任意のkに対して)：(2)
とやっていますよね（大概の入門書では）

でも(2)は実用の結合法則と異なっていますよね？
少なくとも私はn項の式があったらどれかの２つから始めてnを減らしていきます：(3)。
最初に(2)(大きく２つに分けて)で計算することはないです。
で，お願いです「(2)⇔(3)」を証明していただくか
証明が記された本をご教示ください。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

ちょっとググてみたらこんなのがあったよ。
http://www.econ.hit-u.ac.jp/~yamada/algebra_pdf/associativity.pdf

お礼

アリガト
後でじっくり読むよ！

回答No.5

mis_take

ｎ項の演算であることがはっきりするように
f_n(a_1,...,a_{n-1},a_n)=f_2(f_{n-1}(a_1,...,a_{n-1}),a_n)
と書くとわかりやすくなります。

(2) f_n(x_1,...,x_n)=f_2(f_k(a_1,...,a_k),f_{n-k}(a_{k+1},...,a_n))
(3) f_n(x_1,...,x_n)=f_{n-1}(x_1,...,x_{k-1},f_2(x_k,x_{k+1}),x_{k+2},...,x_n)

最終的に，すべて f_2 だけで表したいということですが
(2) top-down でやるか
(3) bottom-up でやるか
の違いではないでしょうか。

たとえば，f_2(x,y)=max{x,y} で考えると
top-down は再帰的なので，わかりにくいと感じる人がいるかもしれません。

回答No.4

Tacosan

「どれかの 2つ」だとかえって面倒なんだよね. いっそのこと「最初の 2つ」としてもらった方が簡単.
これだと
A1 A2 ... An = (..(A1 A2) ... ) An
と計算していて, これは (1) と一致する.

回答No.3

alice_38

(2)⇒(3)の証明:
(2)を使って、
A[1] A[2] … A[k] = (A[1]A[2] … A[k-2])(A[k-1] A[k])
この式に、A[k+1] から A[n] を順に
右から掛けてゆけば、(3)の式を得る。

(3)⇒(2)は、数学的帰納法を使えば証明できるが、
面倒で、書いてみる気にならない。

…で、定理としては(2)のほうが便利かと。

回答No.2

Tacosan

(3) でいわれている「どれかの２つから始めてnを減らしていきます」とはどういうことでしょうか? それは (1) に対して「3項演算への拡張」を繰り返し適用すれば得られませんか?

お礼

ありがとうございます

私は例えば
11+3+7+1+9+9
は演算は非可換とすると
11+3+7+1+9+9
=11+10+1+9+9
=11+10+10+9
=31+9
=40
とやりますが
証明されている式は
最初に大きく２つに分けて例えば
11+3+7+1+9+9
=(11+3+7+1)+(9+9)
=...=40
でその最初の分け方に依らず結果が同一であることを
証明しています