ベクトル

質問

aベクトル=(1,2,3)
bベクトル=(-1,1,1)　とする。
tを動かすとき、xベクトル=aベクトル+tbベクトルの
大きさ│xベクトル│の最小値を求めよ。
また、そのとき、xベクトルとaベクトルのなす角をθとするとき、
cosθの値を求めよ。

考えたのですがわかりません。
解説おねがいします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ｘベクトルは（１－ｔ、２＋ｔ、３＋ｔ）と表わされ、｜ｘベクトル｜は√（ｆ（ｔ））という形になるので、ｆ（ｔ）の最小値を求めればいいことになります。
　上記でｔの値が決まり、すなわちｘベクトルが判るのでｘベクトルとａベクトルの内積をとり、これを｜ａベクトル｜＊｜ｘベクトル｜で割ればｃｏｓθが求められます。

回答No.3

alice_38

｜x｜~2 を t の関数として考えるのも良いのですが…

x の軌跡は直線ですから、
原点に一番近い点は、原点から降ろした垂線の足です。
垂線の足は、↑x・↑b = 0 を解けば
求まりますね。
θは、↑x・↑a の値から、余弦定理で。

回答No.2

info22_

L=|x↑|=|(1,2,3)+t(-1,1,1)|
L^2=(1-t)^2+(2+t)^2+(3+t)^2=3t^2+8t+14
=3(t+(4/3))^2 + 26/3≧26/3
t=-4/3の時 Lの最小値=√(26/3)
このとき x↑=(1,2,3)-(4/3)(-1,1,1)=(7/3,2/3,5/3)
内積(a↑・x↑)=(1/3)(1*7+2*2+3*5)=(1/3)(7+4+15)=26/3
|a↑|=√(1+2^2+3^2)=√14
|x↑|(min)=L(min)=√(26/3)
cosθ=(a↑・x↑)/(|a↑|*L(min))
=(26/3)/{(√14)√(26/3)}=√(13/21)