ベクトルの問題で分らないのがあるので教えてください

質問

※a→は「aベクトル」という意味です。
(1)ベクトルa→、b→において、｜a→｜＝２、｜b→｜＝３、｜２a→－b→｜＝４とするとき
｜a→＋tb→｜の最小値と、そのときの実数tの値を求めてください。（途中式もお願いします。）

ちなみに答えは、
(1)t=－1/4のとき最小値√５５/４
です。

回答No.2

masssyu · ベストアンサー

ベクトル記号は無視します

|2a-b|^2=4^2　
4|a|^2-4(a×b)+|b|^2=16

|a|^2=4 |b|^2=9　より

4×4-4(a×b)+9=16
a×b=9/4

|a+tb|^2
=|a|^2+2t(a×b)+t^2|b|^2
=4+2t×(9/4)+9t^2

平方完成して

9(t+1/4)^2+55/16

t=-1/4　のとき　|a+tb|^2の最小値は55/16

よって

|a+tb|はt=-1/4のとき、最小値(√55)/4　をとる

お礼

ありがとうございます。
助かりました。

回答No.1

gohtraw

ベクトル記号は省略します。
ａ＝（０，２）、ｂ＝（ｘ、ｙ）とおくと、
｜ｂ｜＝３より　ｘ＾２＋ｙ＾２＝９　・・・（１）

｜２ａーｂ｜＝４より　ｘ＾２＋（４－ｙ）＾２＝１６　・・・（２）

（１）と（２）からｘ、ｙの値が判ります。一方ａ＋ｔｂ＝（ｔｘ、２＋ｔｙ）　なので、
（｜ａ＋ｔｂ｜）＾２＝（ｔｘ）＾２＋（２＋ｔｙ）＾２
これにｘ、ｙの値を代入するとｔの二次式になるので、あとはその最小値を求めるだけです。

補足

どうしても√５５/4になりません。