三角比の問題です

質問

1辺の長さが３の正三角形ＯＡＢにおいてＡＢを２：１に内分する点をＰとし、また、ＯＢ上に動点Ｑをとる。このとき、ＰＱ＋ＡＱの最小値を求めよ。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

点ＡをＯＢに関して対称移動させた点をＡ'とすると、

ＡＱ=Ａ'Ｑとなります。だから、

ＰＱ+Ａ'Ｑの最小値を求めればいいのです。

図を書けばすぐに分かると思いますが、分からなければ補足してください。

お礼

ありがとうございました。
初等幾可は苦手です。

回答No.5

nabeyann

前のアドバイス、難しすぎた？

点QからABに垂直に降ろした点をRと置く
AR,QRを、PB=2t,QB=aで表すと,3a≧2t<≧0
AR=(3QB-1/2PB)=3a-t
QR=｜QB-1/2PB｜=｜a-t｜
ＰＱ＋ＡＱが最小値=AR^2+QR^2が最小値
になるPB求める

回答No.4

nabeyann

AQ,PQを、PB,QBで表すと
AQ^2=(√3PB)^2+(3QB-1/2PB)^2
PQ^2=(√3PB)^2+(QB-1/2PB)^2
ＰＱ＋ＡＱが最小値=PQ^2+AQ^2が最小値
になるPB求める

QB+√{３(QB/2)^2+(AB-QB/2)^2}=
(AB-QB/2)^2=(6/2-1/2)QB^2
３(QB/2)^2+(AB-QB/2)^2=(3+5/2)QB^2
QB+√{３(QB/2)^2+(AB-QB/2)^2}=QB+{(11/2)BQ^2}^1/2
={1+√(11/2)}QB

回答No.3

oshiete_goo

＃２ですが，この方針でまともにやると，「三角比」だけでは済まないのでつらいですね．微積分に自信があればいい練習問題でしょうが．

やはり＃１さんのアドバイスどおり幾何的にいくのが順当なようです．

回答No.2

oshiete_goo

初等幾何的に出すほうが簡単なのでしょうが，
三角比の問題として解くとすれば，
OQ＝ｘとして(０≦ｘ≦３)
三角形PBQと三角形OAQでそれぞれ余弦定理を考えてはどうでしょう．