ベストアンサー sup{x∈R|x<π}がπに等しいことを示せという問題の解き方が分 2009/12/31 14:58 sup{x∈R|x<π}がπに等しいことを示せという問題の解き方が分かりません。 上限の定義から考えると当たり前のことを言っていて、これ以上証明しようがないように思えるのですが。。。 みんなの回答 （4） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー aidlii ベストアンサー率36% (9/25) 2010/01/01 10:45 回答No.3 悲しいことに、大学を出て二十年以上経つのでうろ覚えですが、多分、背理法ではないでしょうか。πより大きいと仮定すると、上限の定義に反する。小さいと仮定しても、上限の定義に反する。これで証明できると思いますが…。 質問者 お礼 2010/01/03 17:32 ありがとうございました。背理法でがんばってみます！ 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 その他の回答 (3) alice_38 ベストアンサー率43% (75/172) 2010/01/02 01:40 回答No.4 πより大きくないことは、上界の定義からすぐ出る。 背理法は、πより小さくないことの証明に使うとよい。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 33550336 ベストアンサー率40% (22/55) 2009/12/31 23:25 回答No.2 当たり前だったら数学的にすぐに証明ができるはずです。 というか、数学でいう自明というのは容易に証明可能なことを指します。 直感的に当たり前だと思っても非自明な命題はいくらでもあります。 なので上限の定義に従ってちゃんと証明しましょう。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 nag0720 ベストアンサー率58% (1093/1860) 2009/12/31 16:33 回答No.1 上限の数学的定義を補足してください。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A sup{-1/x:x∈（0,∞）}=0であることを上限の定義に従って証明 実数Rにおいて、sup{-1/x:x∈（0,∞）}=0であることを上限の定義に従って示せ。 という問題が出ました。 以下が私の考えた証明です。 任意のa∈{-1/x:x∈（0,∞）}に対し、a＜０であるから、 ０は{-1/x:x∈（0,∞）}の上界の1つである。 ｙ＜０とすると、Rの稠密性より、 ｙ＜ｚ＜０となるｚ∈{-1/x:x∈（0,∞）}が存在する。 従ってｙは（0，1）の上界ではない。 以上から、０が最小上界である。 大体はいいらしいのですが、 ＞ｚ∈{-1/x:x∈（0,∞）}が存在する がちょっと問題があるみたいです。 Rの稠密性を使っても、{-1/x:x∈（0,∞）}のように、限定した集合の中にｚが入ることは分からない、というのが問題みたいです。 ここが問題だということは理解できたのですが、それを証明の中にどのようにして述べればいいのかがわかりません。 回答お願いします。 sup{-1/x:x∈（0,∞）}=0であることを上限の定義に従って証明 R（実数全体）においてsup{-1/x:x∈（0,∞）}=0であることを上限の定義に従って示せ。 という問題がでました。 以下が私が考える証明です。 任意のa∈{-1/x:x∈（0,∞）}に対し、a＜０であるから、０は{-1/x:x∈（0,∞）}の上界の一つである。 x＜０とすると、Rの稠密性より、 x＜z＜0となるz{-1/x:x∈（0,∞）}が存在する。 従って、xは(0,1)の上界ではない。 以上から、０が最小上界である。 というのが私の証明です。 まずこの証明の流れが正しいかが心配です。 あと気になっていることが２点あるのですが、まず、{-1/x:x∈（0,∞）}は(-1,0)の範囲にあるということをこの証明の中で述べたほうがよいかということです。 ２点目は、この問題はもとからxを使っているので、証明の中の３行目で、『x＜０とすると』のxは使ってもよいかということです。駄目な場合は、どの文字が一番適しているかを教えてほしいです。 カイトウよろしくお願いします。 sup?inf?よくわかりません・・・ 質問なのですが、数列{An}の上限、下限を数列のなす集合{An}の上限、下限で定義しsup_nAn,inf_nAnとします。 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以上です。よろしくお願いします。 関数0^xは0^0=1か 極限値lim[x→+0]0^x が何故 0 になるのか。 0^1=0 は定義から明らかです。 指数法則が成り立つと仮定すると、次のことも証明できます。 m∈N について、0^m=0 n∈N について、0^(1/n)=0 m,n∈N について、0^(m/n)=0 よって、x>0 ならば 0^x=0 なので、極限値も 0 になる、と思います。 ＃多分、指数法則以外に方法は無い。 でも、これは 0^0=0 を意味しません。 a^(r+s)=a^r*a^s は、a=0,r>0,s<0 では意味を持たないので、 どんなに小さな r=m/n について 0^r=0 が証明されても、r>0 である限り、0^0 が計算できないからです。 つまり、関数0^x について、x=0 での値を求める方法は存在しません。 また、0^0=1 と仮定しても、x>0 について、0^x=0 が証明できるので、 0^0=1 という仮定とlim[x→+0]0^x=0 には矛盾がありません。 結局、連続性がないことは、未定義とする理由として不十分で、 「0^0 を未定義としなければならない理由は、存在しない」 この説明に問題はありますか？ 指数関数の定義について 『微分積分学』(笠原、サイエンス社)の命題2.31にの指数法則の証明のところでわからないところがあります。 まず、実数a>1および任意の実数xに対してa^x=sup(a^r)と定義します。ここでsupはr≦xとなるすべての有理数rについての上限です。 こう定義したときに指数法則を満たすかどうかについて。 任意の実数x,yに対して指数法則(a^x)(a^y)=a^(x+y)を示す証明の中で、2つの集合{r+s;r,sは有理数,r≦x,r≦y}と{t;tは有理数,t≦x+y}とが等しいとあります。 たとえばx=π,y=-πのときt=0は後者の元ですが、t=r+s,r≦x,s≦yとなる有理数r,sが存在するならばr≦π,-r≦-πとなりr=πとなってしまってπ(円周率)は有理数ではないので矛盾, つまり上の相等は成り立たないように見えます。 私の推論のどこがおかしいのか教えてください。 ノルムについての問題です 関数解析の本を読んで勉強していたところ、下の問題で行き詰まってしまいました。どなたか力をお貸し下さい。 ||ｘ|| ＝max｛|ｘ1|,|ｘ2|,・・・,|ｘn|｝とする。さらに Ａをn次実正方行列とする。||Ａ|| を ||Ａ||＝sup[x≠0]||Ａｘ||/||ｘ|| と定義する。このとき以下を示せ。 (1) ||Ａ||＝sup[||x||＝1]||Ａｘ|| (2) Ａの(j,k)成分を(Ａjk)としたとき、 ||Ａ||＝max[1≦j≦n]Σ[k=1,n](Ａjk) (3) 任意のｘに対して ||Ａｘ||≦||Ａ||・||ｘ|| （・は普通の積を表します。） (4) 任意のｎ次正方行列Ａ、Ｂに対して ||Ａ＋Ｂ||≦||Ａ||＋||Ｂ|| ||ＡＢ||≦||Ａ||・||Ｂ 以上です。 (1)はsupの定義にまで戻って考えてみて、 さらにここに同じような内容の質問と回答を読ませて頂いてほぼ解決できたのですが、(2)以降に苦戦しています。 Ａやｘに具体的に数値を当てはめてみて、色々と検証してみた結果、 ||Ａ||を大きくするには、ｘの成分に飛び抜けたものがなく、みんな同じような値をとればいいのかな、ということは何となくわかったのですが、それではあまり証明にアプローチできていないような・・・。 わかる方、回答よろしくお願いします。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム Operator norm いつもお世話になっています。今回はoperator norm Tに関する証明で質問です。 ||x||=1 とした時、 M= sup||T(x)|| と定義する。 (a) M <= ||T|| を証明せよ。 これは ||T(x)|| <= ||T||*||x|| を用いて証明できました。 (b) これが問題です。 Tのlinear propertyを利用して、 M >= sup(x≠0) ||T(x)||/||x|| を証明せよという問題です。 ()内は条件です。 sup(||x||=1)||T(x)|| >= ||T(x)|| = ||T|| >= ||T(x)||/||x|| という証明はやはり ||T(x)|| = ||T|| の部分で無理があるでしょうか？ よろしくお願いします。 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解析学など全く知らない素人にsup,limsup等についてどなたか 具体例を示してわかりやすく教えてください。 infの中にsupがあるとき こんにちは． inf｛sup S｝という表記の場合， 解釈すればよいのでしょうか？ Sの最小上界(上限)ですから， supSだけでよいと思われるのですが， どうして，infがついているのでしょうか？ 情報が少ないですが，ご経験のある方お願いします． 凸関数の問題 凸集合と凸関数に関する問題です。 問題 x,y∈Ｒ＾ｎの内積を<x,y>=x´yで定義する。R^n上の凸集合Ｃに関して 関数ｆを （ただし、x´はxの転置行列） f(x)=sup{<x,y>|y∈Ｃ} とおく。 （１）fが凸関数であることを示せ ｆのエピグラフepi fがR^(n+1)上の凸集合であるとき、ｆが凸関数 であることから考えようとしたのですが解けません。 ちなみに、fのエピグラフepi fの定義は epi f={(x,μ)|x∈S,μ∈Ｒ，μ≧f(x)} fは、その領域がS∈Ｒ＾ｎであり、値は実数か±∞をとるような関数 （２）n=1としたとき、Ｃ＝[0,1]の場合fはどうなるか？ （１）をどう生かしていけばいいのかわからない。 （３）n=2として、C={(y[1],y[2]|y[1]+y[2]≦１、y[1],y[2]≧０｝ のとき、ｆの等高線をR^2上ではどうなるか？ Ｃの領域の図示はしましたが、これをどうするのか扱いが理解できない。 以上なのですが、何とか理解したいのでよろしくお願いします。 SUPの件 こんにちは かめぴょんです…。 新聞読んでて、海水浴の記事で、"SUP"っていう、ワードを見たのですが、ご存じの方いらっしゃいますか？ 教えていただけるとありがたいです…。 よろしく…。 以上 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 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お礼
ありがとうございました。背理法でがんばってみます！