Operator norm

質問

いつもお世話になっています。今回はoperator norm Tに関する証明で質問です。

||x||=1 とした時、

M= sup||T(x)||

と定義する。

(a) M <= ||T||

を証明せよ。

これは

||T(x)|| <= ||T||*||x||

を用いて証明できました。

(b) これが問題です。
Tのlinear propertyを利用して、

M >= sup(x≠0) ||T(x)||/||x||
を証明せよという問題です。 ()内は条件です。

sup(||x||=1)||T(x)|| >= ||T(x)|| = ||T|| >= ||T(x)||/||x||

という証明はやはり　||T(x)|| = ||T||　の部分で無理があるでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

||T(x)||=||T||は一般には成り立たないので、それではダメです。

たとえば、次のようにすれば証明できます。
||T(x)||/||x||=||T(x/||x||)||≦sup(||y||=1)||T(y)||=M
||x||は単なる正の数（スカラー）だから、
ノルムの性質（正の定数は自由にノルムの中に出し入れできる）と
Tの線形性（スカラー倍はTの中に自由に出し入れできる）を使っています。
x/||x||はノルムが1になっているから、
T(x/||x||)のノルムは必ずM以下になるのです。

お礼

大変丁寧なご解答ありがとうございました。参考になりました。

回答No.2

ojisan7

adinatさんの回答で良いですが、ｘの変域を明示する意味で、回答させて下さい。

M=sup(||x||=1)||T(x)||>=sup(x≠0)||T(x/||x||)
=sup(x≠0)||T(x)||/||x||=||T||

とすれば、わかりやすいと思います。ここで、不等号を使いましたが、実際は等号ですね。

お礼

解答いただきましてありがとうございました。またどうぞよろしくお願いします。