オイラー無限乗積とリーマンゼータ

質問

ゼータ関数に関して、オイラーの全素数pにわたる無限乗積（実軸上）とリーマンゼータ関数の無限級数（実軸上）が等しいことの証明・解説が紹介されている書籍・論文を教えてください。

また、ｓ＝１をのぞく全複素平面に解析接続されることを解説した書籍・論文があれば教えてくください。

いずれも、初学者（大学初年程度）でも理解できるものが希望ですが、
もっと難しくても勉強してみたいです。
（子供向けの寓話にとどまらないものをご紹介くだされば幸いです。）

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

ζ(s)=Σ[1,∞](1/n^s)
とすると
ζ(s)=Π[p]1/(1-p^(-s))を示す。　（pは全ての素数に渡る）

p≧2だからs＞1に対して
1/(1-p^(-s))=1+p^(-1)+p^(-2)+・・・である。

p=2,3,5,7・・・Pとしてこれらの級数を掛け合わせると
2^(-m2s)・3^(-m3s)・5^(-m5s)・・・P^(-mPs)=n^(-s)
つまりn=2^(m2)・3^(m3)・5^(m5)・・・P^(mP) (m2≧0,m3≧0,m5≧0,・・・mP≧0)

ここで或る数nが出現するのはnがPよりも大きな素因数を持たないとき
、且つその時に限り、それは1回しか現れない。
よって
Π[p≦P]1/(1-p^(-s))=Σ(P)n^(-s) (Σ(P)はPまでの素数の積で表される数全体を渡る和とする)
これらの数はPまでの全ての数を含むので
0＜Σ[1,∞](n^(-s)-Σ(P)n^(-s)＜Σ[P+1,∞]n^(-s)→0 (P→∞)

よって
Σ[1,∞](1/n^s)=lim(P→∞)Π[p≦P]1/(1-p^(-s))
が成り立つ。

回答No.3

Ae610

ANo2です。
スミマセン！何か呆けてました。
書籍・論文の紹介希望だったのですね・・・
整数論関係書籍はちょっと近寄りがたい存在なので、あまり良くは分からないのですが・・・

・ディリクレ・デデキント著(酒井孝一訳)「整数論講義」
・高木貞治著「初等整数論講義」
・・・辺りには解説されていないでしょうか？
（所持していないので良くは分かりませんが・・・）

当方の手許にあるものでは・・・
「解析的整数論」末綱恕一著
・・・がありますが、現在絶版で入手出来ません。

論文関係は全然分かりません。
スミマセン。何かアドバイスになりませんね

お礼

高木「初等整数講義　第2版」を古本屋で見つけました。
内容はさっぱりわかりませんが、「・・・である。」「・・・なのである。」といった文体に圧倒されています。　じっくり読み込みたいと思います。（本当は、まじめに理解したいのです。）

ご紹介ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

例えば、私の手元にある本で挙げると

J.ノイキルヒ 代数的整数論 (出版 シュプリンガーフェアラーク)

>初学者（大学初年程度）でも理解できるものが希望ですが、

大学初年程度だと、まず解析接続から説明しないといかんので、
それは別途複素関数論の書籍を参照して下さい。

ゼータ関数についての書籍も大きめの書店に行けばかなりたくさん見付かるはずです。
質問文にある内容はごくごく初歩的な内容なので、証明が載っている書籍を見つけるのも容易いでしょう。

お礼

複素関数論を勉強します。
ご指南、ありがとうございました。