1＋2＋3＋4＋・・・=-1/12,1+1/2+1/3+…=???

質問

リーマン・ゼータ関数において、

ζ（0）=1+1+1+・・・＝-1/2
ζ(-1)=1＋2＋3＋4＋・・・・・＝-1/12
ζ(-3)=1＋2^3＋3^3＋4^3＋・・・・・＝1/120
ζ(-5)=1＋2^5＋3^5＋4^5＋・・・・・＝-1/252

といった一見では無限大に発散するような級数も、解析接続とかくりこみ理論とかいうことを考えると、意味を持たせることができるようです。

では、
ζ（1）=1+1/2+1/3+…=???
1-1+1-1+1-1+1-…=???

といった一見では収束しない級数などにおいても、新たな理論を考えて、意味を持たせることができるでしょうか？

もうそれは実数の意味ではなく、形式的な表現
1+1/2+1/3+…
の意味でしかないかもしれません。
しかし、なにか別のものとの関係式としてとらえることは可能でしょうか?

回答No.1

atomicmolecule · ベストアンサー

面白いことを考えますね。

Z(1)=1+1/2+1/3+....1/n+...
X(1)=1-1+1-1+1-....

などに意味を持たせることができるかと言う事ですね。有限和を

A(n)≡a0+a1+a2+a3+....+an

と定義した時に、通常は級数和の値を

lim_{n->∞}A(n)　=　α

と定義しますね。つまり和は初項から順番に取っていってその値が収束するなら、それを級数和の値αと言うわけですが、

（１）「絶対収束しない級数は和の順番を並べかえるとその値を色々と変わる。」を逆手にとれば級数和の順番を変えてしまえば発散級数にも意味を持たす事は可能ですよね。順番を変えないにしても2個とびに和を取ってゆくということもありえます。例えば

lim_{n->∞} Σ_{k=0→2n}X(k) = 0　がこの級数和

と「定義」することはできます。それがどれくらい有用かはしりませんが。　

（２）または解析接続で定義するかぎりZ(1)＝∞はさけようがないわけですが（理由はx=１がゼーター関数の級数表示の収束半径を決める特異点だから）、解析接続という条件を外せば、Z(１）に意味を持たせる事も可能ではないかと(私は）思います。がしかし、そういうことをするともはやZ(1)を拡張した関数としてのZ(x)などと言うものは存在しないことになりますよね。そんなものにどれくらい意味があるのか疑問です。つまりZ(1)に意味を与えたら、「それはそういう数」だと言って終りになりかねない気がします。

専門家じゃないので、書いたことに大して自信はありません。