発散級数の和 ４／９付 朝日新聞

質問

４／９付朝日新聞の科学面でオイラーの業績を紹介する中で、
１＋２＋３＋４＋５＋…＝マイナス１２分の１
　と言うのを紹介しています。
　ゼータ関数というのが関係しているらしいのですが、この数式が理解できません。
　ゼータ関数が何であるかなんて事はさっぱり分かりませんが、単に自然数を無限に足していった答えがマイナス、しかも小数点がついている？
こんな事が有るのでしょうか。

　そこで質問ですが、この数式が正しいのかどうか教えてください。
　また正しいのならこの数式を解説してください。

　なお、私の数学的素養は高校生レベルですので、簡単にお願いします。

回答No.4

atomicmolecule

そのままの式では、全くの意味がなく、間違いと言われても仕方有りません。読者の興味を引くために数学的な厳密さを犠牲にしています。一方でこの式を正しく理解するためには少し高度な数学が必要なために、一般向けのお話としてこういった乱暴な式を書かざる得ないということもあるかもしれません。

アイディハ皆さんがおっしゃってる解析接続です。例として幾何級数の場合に

1+x+x^2+x^3+x^4+....+x^∞ = 1/(1-x)

を考えましょう。これなら高校の等比級数の無限和として習うでしょう。ただしこの等式は　x<1　が条件になりますが、右辺は例えば　x=2　でも問題はありませんね。左辺の級数はｘ＝２では定義されていません。そこでちょっと強引ですが、左辺の発散する級数を右辺の式で解釈しなおそうと言うことです。すると

1+2+2^2+2^3+2^4+.....+2^∞=1/(1-x)=-1/2

と書けます。　

がこれはやっぱり左辺は定義されていないと見るほうが自然だと思います。それで、定義されてない左辺はx>1の場合には右辺の式で置き換えると考えるべきかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。この欄を借りて考えたことを書かせていただきます。
　この式は誤植と思っていました。しかし皆さんの回答を見てそうでもないと分かりました。
　ゼータ関数などと言うものは理解できませんが、これは特殊な（或いは概念を広げた？）場合のその中でも特定の場合に成立する式である、そのように理解しました。

　でも・・・それならばそのことを記載しないでこの式だけを書くのはフェアではないと思います。
　三角形の内角の和は１８０度、このように理解しているところに、三角形の内角の和は２７０度、と言っているようなものです。
　曲面上の幾何学で特異な３つの点を結ぶ三角形は内角の和が２７０度になることもあるでしょう。
　でもその場合はそのことを明記しなければダメでしょう。

　もとより新聞の記事です。不特定多数の素人読者に興味を持って貰うようあの様な書き方をしたのだとはおもいますが・・。

　それはそれとして、数学少年だった昔の血が騒ぎました。
　ありがとうございました。

回答No.3

zk43

1+2+3+…＝-1/12だけを単独で載せるのは良くないと思います。
計算はオイラーが最初に行い、それから約１００年後にリーマンが
「解析接続」という手法により意味づけを行いました。

ゼータ関数ζ(s)とは、自然数のs乗の逆数和で、
ζ(s)=Σ(n=1,∞)1/n^s
で、これはs＞1のとき有限な値に収束します。
（リーマンのゼータ関数ともいいます）
高校では無限級数は考えにくいかな？

この関数は「解析接続」という手法により、複素平面全体に拡張して
考えることができます。
1+2+3+…はゼータ関数のs=-1における値という意味で、
1+2+3+…＝-1/12と書いているのだと思います。
（どうして-1/12になるかはちょっとテクニカルな方法でできますが、
省略）
また、
1+1+1+…＝-1/2
1×2×3×…＝√(2π)
などもあります。
これらは、あくまでもゼータ関数ありきの話で、もちろん単純に
計算したらこうはなりませんね・・・

お礼

回答ありがとうございます。内容を理解しようと頑張ってみたのですが、もちろん理解できる訳もなくご返事が遅くなってしまいました。
　最後の回答の方の所に素人ながら考えたことを書きました。

　なお真摯な回答をしていただいた皆さんに、甲乙つけることは出来ませんので、ポイントはどなたにも付与しないこととします。

回答No.2

ojisan7

普通、ゼータ関数は複素関数で、解析接続して、定義域を拡張した解析関数として理解すべきだと思います。理解するには複素関数論、解析関数論の知識が必要です。しかし、単純な取り扱いでは、Re(s)>1のときのみ、ζ(s)は絶対収束します。ζ(s)=-1/12となるのは、s=-1の場合ですから、収束域外です。
１＋２＋３＋４＋５＋…＝マイナス１２分の１
を導いたのは、オイラーですが、この式に意味を持たせるのであれば、それなりの数学的な解釈をする必要があります。「ゼータ関数」「漸近級数」をキーワードにして検索してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。内容を理解しようと頑張ってみたのですが、もちろん理解できる訳もなくご返事が遅くなってしまいました。
　最後の回答の方の所に素人ながら考えたことを書きました。

　なお真摯な回答をしていただいた皆さんに、甲乙つけることは出来ませんので、ポイントはどなたにも付与しないこととします。

回答No.1

finneganswake

たしかに、あの記事はさっぱりわからなかった。博士の愛した数式に絡めて書きたかったんだろうけどね。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/455_s20.htm

ここを見るといいかも。-1のときの値が1/12になるだけであって、あの書き方じゃ駄目だな。

お礼

回答ありがとうございます。内容を理解しようと頑張ってみたのですが、もちろん理解できる訳もなくご返事が遅くなってしまいました。
　最後の回答の方の所に素人ながら考えたことを書きました。

　なお真摯な回答をしていただいた皆さんに、甲乙つけることは出来ませんので、ポイントはどなたにも付与しないこととします。