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無限乗積展開について
sinZ の無限乗積展開 sinZ=zΠ(n=1→∞)(1-z^2/n^2π^2) において、zをπ/2-z と置き換えれば cosz=Π(n=1→∞){1-z^2/(n-1/2)^2π^2} となるとのことですが 右辺の過程がわかりません。よろしくお願いします。
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sinZ の無限乗積展開 sinZ=zΠ(n=1→∞)(1-z^2/n^2π^2) において、zをπ/2-z と置き換えれば cosz=Π(n=1→∞){1-z^2/(n-1/2)^2π^2} となるとのことですが 右辺の過程がわかりません。よろしくお願いします。
お礼
z^2の係数を比較すると、-k=1-1/4n^2 となりますが、 Π[n=1→∞](1-4n^2)=Π[n=1→∞](1-1/2n)(1+1/2n) =lim[n→∞](1/2*3/2)(3/4*5/4)…{(2n-1)/2n*(2n+1)/2n}=2/π (ウォリスの公式より)となるので 右辺の積における余因子の(1+z/(π/2))と Πの前にある因子(π/2-z)と2/πを掛けて1-z^2/(π/2)^2 となり解決しました。ありがとうございました。