有理整数環について

質問

有理整数環Zでは、任意のイデアルは単項イデアルということはどのようにすれば証明できるのでしょうか？

もしよろしければ、ご指導お願いします。

回答No.2

yoikagari · ベストアンサー

Zが単項イデアルであることの証明はこんな感じ。

「Zの（0）ではないイデアルIを任意にとる。
Iの正の元のうち、最小のものをeをとる。
I=（e）となることを示す。

イデアルの定義よりI⊇（e）は明らかである
よって、I⊆（e）を示す。
Iの元hを任意に取る
hをeで割り、商をq、余りをrとする
h=eq+r，0≦r＜e
ここで、r＞0と仮定する
r=h-eq∈I、0＜r＜eだから、
rはeより小さな正のIの要素となる。
これは、Iの正で最小の元がeであることに反する。
よって、r=0
したがってhはeで割り切れるからh∈（e）
すなわち、I⊆（e）がいえた。

以上よりI＝（e）がいえ、Zが単項イデアルであることがいえた。」

お礼

分かりやすい証明ありがとうございます。

もしよろしければ、[Z√2i]が単項イデアル整域で素元分解可能であることについてもご指導いただければと思います。

ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

Z は Euclid整域だから

以上

お礼

まさにその通りですね！

参考にさせていただきます。