イデアルの証明がよくわかりません…(/_;)

質問

本を読んでいて，
次の命題を証明したいのですが…．

Iを有理整数環Zのイデアルとすると，I=Zaとなる整数aが存在する．

イデアルの考え方も自信がないので，
分かりやすく証明を書いていただけると嬉しいです(T T)

よろしくお願いします!!

回答No.11

koko_u_u · ベストアンサー

だいたい良いので、細かいところだけ

>[i] I={0}=(0)の場合
>これは，どんな整数と0をかけても0になるので，成り立つ．

よろしくありません。
「どんな整数と0をかけても0になる」ので、何が成立しているのかはっり書くべきです。

>[ii]I≠(0)
>この場合を考えるとき，例えばmがイデアルの元であるとすると，
>マイナスをかけた場合もイデアルに含まれることは定義よりわかる．
>よって，これより元が自然数である場合を考えることにする．

微妙にわかってないような気もするけどスルー。

> 逆の場合を考えてみる．Iから任意の元nをとると，
> nは(正の)整数なので， n=aq+r, 0≦r<a　をみたす整数q, rが存在する．

n は任意にとったので、正の整数とは限りません。
その後の議論で「正の」整数であることは使用していないことに注意しましょう。

お礼

ありがとうございました!!
「スルー」はすこし寂しかったですが…

いつも早く回答してくださって
とてもうれしかったです!!
なんどもしつこく補足してしまって
すみませんでした…
ありがとうございました!!

ベストアンサーにさせていただきます!

回答No.12

OurSQL

回答 No.9 で、私が

(**) Ｉ = { 0 } = ( 0 ) の場合と、Ｉ ≠ ( 0 ) の場合の２パターンに分類して証明すれば、うまくいきます

という表現を使ったことが、質問者様を混乱させてしまったようで申し訳ありません。
koko_u_u さんが指摘しているとおりなので、

>[i] I={0}=(0)の場合
>これは，どんな整数と0をかけても0になるので，成り立つ．

という部分は、

(##) [i] I = { 0 } の場合、どんな整数と 0 をかけても 0 になるので、I = ( 0 ) が成り立つ

という書き方に改めた方がいいでしょう（もっと日本語として適切な表現が、おそらく存在するとは思いますが）。

次に、

>[ii]I≠(0)
>この場合を考えるとき，例えばmがイデアルの元であるとすると，
>マイナスをかけた場合もイデアルに含まれることは定義よりわかる．

という部分ですが、

(##) [ii] I ≠ { 0 } の場合、I は 0 に等しくない整数 m を元に持つ。
(##) さらに、イデアルの定義より － m も I の元である。
(##) m か － m のどちらか一方は正なので、I は正の整数を元に持つといえる。

という表現にすればいいと思います。

その直後の

>よって，これより元が自然数である場合を考えることにする．

この部分が、今回の証明の中で、たぶんいちばん問題が大きいと思います。
正の整数であることにこだわったのは、a に関してのみです（ただし、( a ) = ( － a ) は成り立ちます）。
( 0 ) 以外のイデアルは、必ず負の整数を元に持ちますし、( 0 ) と同様に 0 も元に持ちます。
よって、koko_u_u さんも指摘していますが、

>逆の場合を考えてみる．Iから任意の元nをとると，

と仮定したのですから、n は正の整数とは限らず、0 かもしれないし、負の整数かもしれません。
n が正でも 0 でも負でも、n = aq は成り立つのですから、I の元のうちで特に正の整数に注目する必要はありません。

以上の点に関して、質問者様が何の疑問も感じずに納得なさるのであれば、証明が完成したと見なして差し支えないと思います。

お礼

ありがとうございます!!

かおもじは質問するときはやめます…

OurSQLさんの後押しがあったので
なんども再挑戦できました
ありがとうございました!!

回答No.10

koko_u_u

> だから，５が要素にあるときは，
> -5も要素に持つということでしょうか？

そうです。

> そうすると，なんらかのRにある数と5を
> かけたときにできる数すべてがイデアルである
> ということなので，イデアルには絶対０がある
> ということになるのでしょうか？

誤) 5をかけたときにできる数すべてがイデアルである
正) 5をかけたときにできる数すべてがイデアルの元である

ということで、引き続きどうぞ。

補足

koko_u_uさんとOurSQLさんのコメントを参考にさせてもらいながら書き直しました，

Iは有理整数環Zのイデアルなので，I={0}=(0)の場合とI≠(0)の場合で考えてみる．

[i] I={0}=(0)の場合
これは，どんな整数と0をかけても0になるので，成り立つ．

[ii]I≠(0)
この場合を考えるとき，例えばmがイデアルの元であるとすると，
マイナスをかけた場合もイデアルに含まれることは定義よりわかる．
よって，これより元が自然数である場合を考えることにする．
Iのなかで一番小さい自然数をaとする．
aはIの元だから，(a)つまりZaはIに含まれる．
記号で書くと，(a)=Za⊂I…(★)
これは，イデアルの定義が，m∈Z, b∈Iならばmb∈Iだからである．
逆の場合を考えてみる．Iから任意の元nをとると，
nは(正の)整数なので， n=aq+r, 0≦r<a　をみたす整数q, rが存在する．
q∈Z, a∈Iより，aq∈Iで，r=n-aqもIに含まれる．
もしもr=0でなければ，0<r<aになり，aが一番小さい数にならず，不適．
よって，r=0であり，n=aqであるからI⊂(a)…(☆)
(★)と(☆)より，I=(a)

以上[i]と[ii]より示された．

どうですか…?よろしくお願いします!!

回答No.9

OurSQL

koko_u_u さんが「もう一息、と言ったところです」という評価をくれたのですから、惜しいところまでたどり着いているということです。
実際、なかなかいい証明で、あと少しで完成しそうです。

Z のイデアル Ｉ を（任意に）選び、その元 m を m = 0, m > 0, m < 0 の３パターンに分類して証明しようとしていますが、これがつまずいた原因です。
そうではなく、Z のイデアル Ｉ を、Ｉ = { 0 } = ( 0 ) の場合と、Ｉ ≠ ( 0 ) の場合の２パターンに分類して証明すれば、うまくいきます。

ほんの少し手直しするだけで証明が完成するので、No.8 に書かれた koko_u_u さんのアドバイスを参考にして、もう一回挑戦してみてください。
必ず、貴重な財産として残ります。

補足

ありがとうございます

回答No.8

koko_u_u

> Iは有理整数環Zのイデアルとしているので，
> その元mを考えるときには，次の３パターンがある．
>
>
> [i]m=0
> m=0のときはつまりI={0}であり，これはI=(0)でもある．
> この場合には，どんな場合のaでもI=Zaとなる．

いきなり、間違っています。
I はイデアルなので、必ず 0 を含みます。つまり I = {0} ではありません。

> [ii]m>0
> m>0のときは，つまり，Iが自然数からなる．

これも違います。I はイデアルなので、例えば 5 を要素として持てば、
-5 もまた I に含まれており、自然数からなる(つまり I ⊂ N)イデアルは存在しません。

> Iのなかで一番小さい数をaとする．
> aはIの元だから，(a)つまりZaはIに含まれる．
> 記号で書くと，(a)=Za⊂I…(★)
> これは，イデアルの定義が，m∈Z, b∈Iならばmb∈Iだからである．
>
>
> 逆の場合を考えてみる．Iから任意の元nをとると，
> nは(正の)整数なので， n=aq+r, 0≦r<a　をみたす整数q, rが存在する．
> q∈Z, a∈Iより，aq∈Iで，r=n-aqもIに含まれる．
> もしもr=0でなければ，0<r<aになり，aが一番小さい数にならず，不適．
> よって，r=0であり，n=aqであるからI⊂(a)…(☆)
> (★)と(☆)より，I=(a)
>
> [iii]m<0のとき
> イデアルの定義から
> -1∈Z, m'∈I ⇒ -m'=m∈I
> なので，[ii]と同様．
>
> 以上より，示された．
>
> どうでしょうか…??

もう一息、と言ったところです。

補足

ご回答ありがとうございます!!
遅くなってすみません…

b, c ∈ I ⇒ b+c ∈ I
m ∈ R, b ∈ I ⇒ mb ∈ I

がイデアルの定義ですが，

-1 ∈ R, 5 ∈ I ⇒ -5 ∈ I

だから，５が要素にあるときは，
-5も要素に持つということでしょうか？
そうすると，なんらかのRにある数と5を
かけたときにできる数すべてがイデアルである
ということなので，イデアルには絶対０がある
ということになるのでしょうか？

回答No.7

OurSQL

No.5 で koko_u_u さんが、分かりやすい説明をしてくれました。
頑張って、証明を完成させてみませんか。

( 0 ) に等しくない Z の任意のイデアル Ｉ が、正の整数を元に持つことが分かりました。
それらの中で、値が最小のものを a とおきます。
あとは、Ｉ の任意の元が a の倍数であることを示すだけです。

ご健闘、お祈りします。

回答No.6

alice_44

A No.4 は、ああ言っているが、
「EDだから」という説明は、
有理整数環の持つ性質のうち
どの部分を使うとPIDであることが言えるか
を示しているのだから、証明の本質的な部分なのだが…

回答No.5

koko_u_u

しまった。補足されてることに気付かず回答しちゃったよ。

> (1)「Iは0と異なる元mを含むとして良い」とありますが，
> 「I={0}ならばI=(0)」なら，どうして0を考えなくていいのですか？

場合分けして証明しているということです。
「I={0}ならばI=(0)」がすなわち「0 を考えた」ということです。

> (2)(1)と同じ理由だと思うのですが，
> 「-m∈Iだからm>0としてよい」で，どうしてm<0を除外するのでしょうか？

新たに m' として -m を考えることで、始めから m > 0 だったとして考える。
という証明でよく使われる言い回しです。

> (3)どうして「Iは自然数を含む」なのでしょうか？
> 0や負は自分で除外したので，整数だと私は思いました…

つまり正の整数ですね。それが自然数です。

補足

ご回答ありがとうございます!!
遅くなりました．ごめんなさい．
本を見ながら私なりに証明を書いてみました…

Iは有理整数環Zのイデアルとしているので，
その元mを考えるときには，次の３パターンがある．

[i]m=0
m=0のときはつまりI={0}であり，これはI=(0)でもある．
この場合には，どんな場合のaでもI=Zaとなる．

[ii]m>0
m>0のときは，つまり，Iが自然数からなる．
Iのなかで一番小さい数をaとする．
aはIの元だから，(a)つまりZaはIに含まれる．
記号で書くと，(a)=Za⊂I…(★)
これは，イデアルの定義が，m∈Z, b∈Iならばmb∈Iだからである．

逆の場合を考えてみる．Iから任意の元nをとると，
nは(正の)整数なので， n=aq+r, 0≦r<a　をみたす整数q, rが存在する．
q∈Z, a∈Iより，aq∈Iで，r=n-aqもIに含まれる．
もしもr=0でなければ，0<r<aになり，aが一番小さい数にならず，不適．
よって，r=0であり，n=aqであるからI⊂(a)…(☆)
(★)と(☆)より，I=(a)

[iii]m<0のとき
イデアルの定義から
-1∈Z, m'∈I ⇒ -m'=m∈I
なので，[ii]と同様．

以上より，示された．

どうでしょうか…??

回答No.4

koko_u_u

ユークリッド整域は整数環の一般化なので、まずはユークリッド整域の概念を使用せずに証明するのがよいでしょう。

回答No.3

alice_44

答え：
Z は、余り付き除算が定義できるので、ユークリッド整域であり、
従って、単項イデアル整域でもある。Q.E.D.

回答No.2

OurSQL

>イデアルの考え方も自信がないので，
これは、イデアルの定義がよく分かっていない、という意味ですか。
もしそうなら、あなたが証明したいと思っている命題を、証明できるはずがありません。
その本のどこかに、イデアルの定義が書かれているはずですので、そこを参照してください。

ところで、その命題の証明は、その本のどこかに書かれていないのでしょうか。
命題だけ載せて、証明を省略しているのだとしたら、かなり不親切な本ですね。
役に立つかどうか分かりませんが、索引で「単項イデアル」という用語が載っているかどうか、調べてみるのも悪くないかもしれません。

あと、余計なお世話かもしれませんが、

(/_;)　とか　(T T)　とか　!!

みたいな文字は、使っても逆効果かもしれませんよ。