2項分布の期待値の途中過程で躓いてしまいました。

質問

p(k)=(nＣk)p^k×q^n-k

のときの期待値の
計算途中で

E(X)=Σ(k=0、n){(k・n!)÷(k!(n-k)!)}(p^k)×(q^n-k)
から
=npΣ(k=1、n){(n-1)!÷(k-1)!(n-k)!}(p^k-1)×(q^n-k)

がどうやって
下の計算が出てくるのか
行き詰まってしまい
解だけ分かっていても
途中計算が分からず、
分散の値も出せずにいます。
解りづらい計算式ですみません。
どうか教えてください。

回答No.1

noname#227064

k = 0の項は0になることに注意して計算します。
E(X) = Σ(k=0、n){(k・n!)÷(k!(n-k)!)}(p^k)×{q^(n-k)}
= 0・n!÷{0!(n-0)!)}(p^0)×(q^(n-0))
+ Σ(k=1、n){(k・n!)÷(k!(n-k)!)}(p^k)×{q^(n-k)}
= Σ(k=1、n){(k・n!)÷(k!(n-k)!)}(p^k)×{q^(n-k)}
=npΣ(k=1、n){(n-1)!÷((k-1)!(n-k)!)}{p^(k-1)}×{q^(n-k)}