二項定理の拡張・変形
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86
を元に、二項定理の拡張・変形について考えています。
nが自然数のとき、
(x+y)^n=Σ[k=0,n]C(n,k)(x^k)(y^(n-k))
が普通の二項定理です。
αを実数として、|x|<1のとき、
(1+x)^α=Σ[k=0,∞]C(α,k)x^k
はニュートンが考えたといわれています。
特別な場合として、負のベキは、
1/(1-x)^n=Σ[k=0,∞]H(n,k)x^k
と重複組合せを用いて表されます。
また、項を増やした、
(x[1]+x[2]+…+x[k])^n=Σ[p∈N^k,|p|=n]C(n,p)x^p
は多項定理といわれています。
指数のほうを和にすると、
x^(n+m)=x^n x^m
指数法則です。
で、x、yをいじくって、
Π[k=1,2]{cos(θk)+isin(θk)}
={cos(θ1)+isin(θ1)}{cos(θ2)+isin(θ2)}
={cos(θ1)cos(θ2)-sin(θ1)sin(θ2)}+i{sin(θ1)cos(θ2)+cos(θ1)sin(θ2)}
といったものを考えると２つの文字の加法定理です。
n個の文字の加法定理をうまく記述するにはどうしたらよいのでしょうか？
Π[k=1,n]{cos(θk)+isin(θk)}
または
Π[k=1,n]{x[k]+y[k]}
の展開ををうまく記述するにはどうしたらよいのでしょうか？
