ゲインの計算

質問

x(t)を-∞～∞の関すと考えて,この関数を、
y(t)=(1/T)∫[τ:t-T→t+T]x(τ)dτ
という、平滑化フィルタを掛けることを考えます。
Tは、任意の定数で、平滑化する前後の量を決定しています。

この際、出力の周波数特性はどのような感じになってるのかな？と思ったので、Y(s)/X(s)を求めようと考えたのですが、このような式をラプラス変換する方法がよくわかりませんでした。

そこで、とりあえず、フーリエ変換して特性を観てみようと思い、
U(ω)=∫[t:-∞→∞]u(t)exp(jωt)dt
という形で、両辺を変換し、|Y(ω)/X(ω)|を求めてみようという指針で計算してみました。
しかし、
∫[t:-∞→∞]y(t)exp(jωt)dt=(1/T)∫[t:-∞→∞])∫[τ:t-T→t+T]x(τ)dτexp(jωt)dt

の後、積分区間の指定にtが含まれているため、積分順序を入れ替えられず、手詰まりになってしまいました。

なにかいい方法はないものでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

8kunkun · ベストアンサー

区間平均の出力の周波数特性はsinc関数になります。

導出ですが、
y(t)=(1/T)∫[τ:t-T→t+T]x(τ)dτの見方を変えてください。
この関数は、関数x(t)に
区間[τ:t-T→t+T]の範囲で１、それ以外ではゼロの値を持つ
方形波を掛けたものを、積分したものと見ることができます。
たぶん、この方形波の畳み込み積分のフーリエ変換になって、
結局、方形波のフーリエ変換である、Sinc関数が、入出力の
周波数特性を決めているのが分かると思います。
計算してみてください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/Sinc%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

なるほど！
どうも有り難うございました。