∫exp(x)/x dxの積分

質問

こんにちは。

ラプラス変換で微分方程式を解く問題をといておりましたところ、
以下の式が出てきました。

L{X(t)} = (3+2s)/{(1+s)(2+s)(3+s)}
L{Y(t)} = (2+4s+s^2)/{s(2+4s)}

これを逆ラプラス変換してX(t)およびY(t)を求めようと思います。
部分分数展開して積分を行ったのですが、その際どうしても以下の
積分を求める必要が出てきます。

∫exp(s)/s ds　……(1)

∫exp(s)*s^n ds
において、nが自然数なら、部分積分で求めることができるのですが、
nが負の整数の場合、部分積分を行うと(1)で手詰まりになってしまいます。

仮に(1)を部分積分しても、
[(log|s|)exp(s)] - ∫(log|s|)exp(s) ds
となり、∫(log|s|)exp(s) ds を求めることができないので、先に進めません。

どうやれば(1)の積分は解けるのでしょうか？

回答No.2

orcus0930 · ベストアンサー

単純に部分分数分解を間違っているだけですね。
それとも、逆ラプラス変換を勘違いしているか、
どちらかです。

逆ラプラス変換は、ふつうは積分をして求めません
ラプラス変換して対称の関数になる関数を探す作業をします。

また、∫exp(x)/x dx は初等関数で解析的に解くことはできません。
ですが、複素広義積分の計算はできます

お礼

ご指摘の通り、公式に当てはめて唸ってました……

部分分数展開してsin、cos、ヘヴィサイドの階段関数のラプラス変換の公式
を逆に当てはめたところ、無事解くことができました。

ありがとうございます。

回答No.3

info22

>これを逆ラプラス変換してX(t)およびY(t)を求めようと思います。
>部分分数展開して積分を行ったのですが、その際どうしても以下の
>積分を求める必要が出てきます。
>∫exp(s)/s ds　……(1)

途中計算が書いてないのでなんともいえませんが、
(1)式は出てきませんね。
どこかで計算ミスしていませんか？

>L{Y(t)} = (2+4s+s^2)/{s(2+4s)}
これを部分分数に展開すると定数項に「1/4」が出てきますが、
この項はY(t)にDiracのδ関数が含まれることを意味しますが、
解こうとしているシステムではt=0でDiracのδ関数のような入力が発生するような現象が伴いますか？

回答No.1

Tacosan

その x(t), y(t) ならそんな積分はでてこないような気がするんだけどなぁ.... y(t) の方に δ がはいるのが気になるけど.
ちなみにその原始関数は (初等的には) 表現できません.