広義積分なんですが…

質問

∫[０,∞]sin(x^α)　(α＞1)
が、それぞれの範囲で収束することを示せ。

という問題なんですけど、どう書き始めるべきか、どう考えるべきか全くわかりません。どう示せばいいのでしょうか？教えてください！
お願いしますm(_ _)m

回答No.3

mmky · ベストアンサー

参考程度に
∫[0～∞]sin(x^α)dx　(α＞1)
が、それぞれの範囲で収束することを示せ。
ですか。

例えば、
0≦x≦∞, (α＞1),
z=x^αと置けば、x=z^(1/α) (:logz=αlogx)
dx={z^((1/α)-1)}dz
∫[0～∞]sin(x^α)dx
=∫[0～∞]{sin(z)}{z^-(1-(1/α))}dz
(1-(1/α))=k　と置けば、
=∫[0～∞]{sin(z)/z＾k}dz
0＜k≦1　（：1＜α≦∞)
=∫[0～1]{sin(z)/z＾k}dz+∫[1～∞]{sin(z)/z＾k}dz
0≦z≦1では{sin(z)/z＾k} は連続だから
∫[0～1]{sin(z)/z＾k}dz　は収束。
1＜z≦∞では, 1＜p＜q とすれば、
|∫[p～q]{sin(z)/z＾k}dz|
=|cosq/p＾k-cosp/q＾k-k∫{cos(z)/z＾k+1}dz|
＜1/p＾k+1/q＾k+k∫[p～q]{1/z＾k+1}dz
=1/p＾k+1/q＾k+1/p＾k-1/q＾k=2/p＾k＜ε
ゆえに∫[1～∞]{sin(z)/z＾k}dz　は収束。
だから、∫[0～∞]{sin(z)/z＾k}dz　は収束。
ということで
∫[0～∞]sin(x^α)dx　(α＞1)
は収束という論法でしょうかね。

お礼

これってコーシーの収束判定条件を使ってるんですよね？おかげで問題を解くことができました☆
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.4

mmky

追伸まで
mmkyです。
oshiete_gooさんの指針がすでに出てましたね。
#3は参考例のひとつ程度にね。

回答No.2

oshiete_goo

＃１の補足．
＞絶対収束はしないけれど，書き換えて交代級数と見れば収束はいえる．

これは（むろん）πごとに区切って級数（a1+a2+・・・）とみたときにとゆうつもりです．

|a1|＋|a2|＋・・・　は発散
a1＋a2＋・・・　は収束

お礼

補足までしていただきありがとうございます☆

回答No.1

oshiete_goo

∫[０,∞]sin(x^α)dx　(α＞1)
なんですかね．

x^α＝ｔと置換して
（与式)＝(1/α)∫[０,∞]（sinｔ／t^β）dｔ　[β＝1－1／α，０＜β＜１]
などとなりそうです．後は有名問題．

絶対収束はしないけれど，書き換えて交代級数と見れば収束はいえる．直接示すのは宿題ですね．多分やっているでしょう．

お礼

実はその有名問題もやってないんです。。。
でも過去ログの回答見て解けました☆
ありがとうございましたm(_ _)m