線積分の問題 お願いします・・・！

質問

大変こまっています。
わかるかた、もしくはヒントや考え方だけでもお願いします。

問．原点を始点にし、1+iを終点にする曲線C1,C2,C3を考える。ただしC3は円弧である。
このとき各Ｃjをパラメータ表示し、次の線積分を計算せよ。
(1) Ij=∫cj ydx+xdy (j=1,2,3)
(2) Ij=∫cj -ydx+xdy (j=1,2,3)
(3) Ij=∫cj Zdz (j=1,2,3)

パラメータ表示は
　Ｃ1:z(t)=t+it (0≦ｔ≦1)
Ｃ2=C'2+C"2でC'2:z(t)=t (0≦ｔ≦1),C"2:z(t)=1+it (0≦ｔ≦1)
Ｃ3:z(t)=1+e^i(π-t)=1-e^-it (0≦t≦π/2)
となりました。
が、線積分のやりかたが全然分かりません;;
(1)、(2)はx,yが出てきていますが、パラメータ表示を変換するのですか？
基本からよく分かっていないのですが、かなり切羽詰っています；
どなたか教えてください(泣)

回答No.3

info22

#2です。

A#2の(1)のI3の計算の最後の2行でケアレスミスがありましたので
訂正します。
誤：=[sin(t)-(1/2)cos(2t)] [0→π/2]
誤：=2
正：=[sin(t)-(1/2)sin(2t)] [0→π/2]
正：=1

回答No.2

info22

宿題、課題等の丸投げはダメです。
少なくとも線積分の基礎的なことは教科書、参考書等で、自分で調べて下さい。それでも全く分からなければ諦める。
先生が後から解答してくれるでしょう。
質問は９つの線積分を網羅的に丸投げした形になっています。
質問するなら１つに絞って質問し、他は自分でやるようにすべきだと思います。まず線積分のやり方を基礎から学んでからやった計算を補足に書いてください。間違っていれば補足します。

(1)だけ詳しく回答してあげますから(2),(3)は以下の回答を参考に自力で解答を作って見てください。

C1
z=x+iy=t+it,x=y=t
ydx+xdy=tdt+tdt=2tdt(t:0→1)
I1=∫c1 ydx+xdy=∫[0→1] 2tdt=[t^2] [0→1]=1

C2=C'2+C"2
C'2
z=x+iy=t(0≦ｔ≦1) ,x=t,y=0,dx=dt,dy=0,(ydx+xdy)=0
C"2
z=x+iy=1+it(0≦ｔ≦1),x=1,y=t,dx=0,dy=dt,(ydx+xdy)=dt
I2=∫c'2+c"2 (ydx+xdy)=∫c'2 (ydx+xdy)+∫c"2 (ydx+xdy)
=0+∫[[0→1] 1 dt=[t] [0→1]=1

C3
z=x+iy=1-e^(-it)=1-cos(t)+i sin(t) (0≦t≦π/2)
x=1-cos(t),y=sin(t),dx=sin(t)dt,dy=cos(t)dt
(ydx+xdy)={sin(t)}^2 dt+{1-cos(t)}cos(t)dt (0≦t≦π/2)
I3=∫[0→π/2] [{sin(t)}^2 +{1-cos(t)}cos(t)]dt
=∫[0→π/2] {cos(t)-cos(2t)}dt
=[sin(t)-(1/2)cos(2t)] [0→π/2]
=2

後は自分でどうぞ!

お礼

おっしゃるとおりですね、すみませんでした；
これから頼り過ぎないようがんばります。

解答を詳しくありがとうございました。
参考にしながら２、３番も解くことができました。
おかげで線積分の解き方を理解することができました。

本当にありがとうございました
これからはしっかり勉強します！

回答No.1

proto

まず(1)の経路C1から考えてみましょうか。
いま経路C1は
　　z(t) = t+i*t　　(0≦t≦1)
なので、z=x+i*yとしてx,yをtで表すと
　　x(t) = t
　　y(t) = t
ですね。
これよりdx/dt,dy/dtを求めると
　　dx/dt = 1
　　dy/dt = 1
よって求める積分は次のように変換されます
　　∫[C1] {y*dx+x*dy} = ∫[0,1]{t*dt+t*dt}
　　　　　　　　　　　 = 2*∫[0,1]{t}dt

(1)のC2についても同様です。
(1)のC3ならば、まず
　　C3 : z(t) = 1-e^(-i*t) = (1-cos(t)) +i*sin(t)
と変形すれば
　　x(t) = 1-cos(t)
　　y(t) = sin(t)
とわかり同様に計算できるはずです。

(2)についても基本的な方針は同じですね。

(3)は
　　∫[Cj]{z}dz = ∫[cj]{z*dz/dt}dt
とすれば、置換積分の要領でよくみるtについての積分に変換出来るでしょう。
例えば、(3)のC1ならば
　　z(t) = t+i*t　　(0≦t≦1)
より
　　dz/dt = 1+i
よって
　　∫[C1]{z}dz = ∫[0,1]{(t+i*t)*(1+i)}dt
　　　　　　　　= (1+i)^2*∫[0,1]{t}dt
となります。

(3)のC3ならば、
　　z(t) = 1-e^(-i*t)　　(0≦t≦π/2)
より、
　　dz/dt = i*e^(-it)
よって
　　∫[C3]{z}dz = ∫[0,π/2]{(1-e^(-i*t))*i*e^(-i*t)}dt
　　　　　　　　= i*∫[0,π/2]{e^(-i*t)-e^(-2i*t)}dt
となります。

お礼

お早い回答ありがとうございました。
大変参考になりました。
よくわかりました！