積分の問題

質問

「Cを始点と終点が一致し自分自身と交わらないなめらかな曲線とする。1形式w=(xdy-ydx)/x^2+y^2をCに囲まれた領域に（０，０）が入るかどうかで場合分けして積分せよ」とう問題で、w=Pdx+Qdyとするのはわかるんですが積分範囲やなぜ場合分けするのか、また場合分け後の立式もいまいちわかりません。どうすればいいのかよければ教えてください。

回答No.2

Akira_Oji

この問題は物理学では、「アンペールの法則」というのと同じ状況になっています。一本の直線電流のまわりにできた磁場。電流がｘ－ｙ平面の原点(0,0)を貫くように-Zから+Zに流れている場合のｘ－ｙ平面上での磁場。その磁場は物理定数を別にすれば、
H_x = -y/(x^2+y^2)
H_y = +x/(x^2+y^2)

「アンペールの法則」というは
∫H.dl=積分路内での電流。
(Hはここではベクトル。dlはベクトル的微分線要素(dx,dy)。H.dlはそれらの内積。）

となっていますから、積分路が原点を囲んでない場合は０になりますが、積分路が原点を囲んでいる場合は０にはなりません。

実際にやってみます。
積分路が原点を囲んでいる場合（積分路が原点を中心とする半径Rの円）
∫H.dl
=∫{H_x dx+H_y dy}
=∫{-y/(x^2+y^2) dx + x/(x^2+y^2) dy}
=∫(-ydx+xdy)/(x^2+y^2)

積分路が原点を中心とする半径Rの円ですから、
x = R.cosθ
y = R.sinθ
x^2+y^2 = R^2
dx = -Rsinθdθ
dy = R.cosθdθ

∫H.dl
=∫(-ydx+xdy)/(x^2+y^2)
=∫[0→2π](R.sinθ.Rsinθdθ+R.cosθR.cosθdθ)/R^2
=∫[0→2π]dθ
= 2π
となります。

積分路が原点を囲んでない場合はちょっとやっかいですが、積分路が「なめらかな曲線」というのを許してもらって、つぎのようなものを考えます。原点を中心とする２つの円を考えます。１つは半径Rで２つ目は半径２R。これらがθ＝０のところで切れていて、θ＝＋０のところの大小の円の切れた端を１本のｘ軸に平行な直線が繋いでいる。また、θ＝-０のところの大小の円の切れた端をもう１本のｘ軸に平行な直線が繋いでいる。したがって、全体として積分路は原点を囲んでいない。
そうすると、直線の積分路上(y=0)では、

H_x = -y/(x^2+y^2) = 0
H_y = +x/(x^2+y^2) = 1/x
dx=dx or dx=-dx
dy = 0
となるので、（Hとｄｌは直交している。）
H.dl=H_x dx+H_y dy=0　となり積分に寄与しない。

大小の円上の積分ではそれぞれ、＋2π　と　-2π　になり、打ち消しあって、全体としての積分値は０になる。

回答No.1

arrysthmia

z = x+yi　(i は虚数単位) と置くと、
その積分は、複素積分 ∫dz/z の虚部です。

留数定理で処理するために、
積分路に囲まれた領域が、特異点を含むか否か
を考える必要があるのです。