組み合わせの計算に関する難題
こんにちは．
かなり難しい問題に苦しめられています．
回答者のみなさんの知恵をお貸しください．
よろしくお願いします．
nを20以上の任意の整数とします．
次の５つの条件(1)～(5)を同時に満たすような整数a，b，c，dについて考えます．
(1)a+b+c+d=n
(2)a>1
(3)b-a>1
(4)c-b>1
(5)d-c>1
この５つの条件を同時に満たすような整数の組(a，b，c，d)の各々に対して，
積a*b*c*dを考え，次にそうしてできた積をすべて足し合わせます．
このようにしてできた和はnの関数なのでこれをF(n)とします．
F(n)をnの式で表すことはできるのでしょうか？
実際の例を挙げて説明しておきます．
n=24のときを考えてみます．
n=24のときには，上記の５つの条件を同時に満たすような整数の組(a，b，c，d)は
次の５組だけです．
(a，b，c，d)=(2，4，6，12)，(2，4，7，11)，(2，4，8，10)，
(2，5，7，10)，(3，5，7，9)．
これら５組の各々に対して積a*b*c*dを考え，それらの積を
すべて足し合わせます．そうすると，
(2*4*6*12)+(2*4*7*11)+(2*4*8*10)+(2*5*7*10)+(3*5*7*9)
=3477
となります．
したがって，F(24)=3477ということになります．
n=20～25に対するF(n)の値は，
F(20)=384，F(21)=432，F(22)=984，F(23)=1718，F(24)=3477，F(25)=4620．
となります．
オンライン整数列大辞典でこの数列(384,432,984,1718,3477,4620)を検索して
みましたが，登録されていませんでした．
[ ]をガウス記号とします．
Σ記号を３つ重ねることによってF(n)は，
F(n)=Σ{a=2 to [(n-12)/4]}Σ{b=a+2 to [(n-6-a)/3]}Σ{c=b+2 to [(n-2-a-b)/2]}(a*b*c(n-a-b-c))
とかくことができます．
この式を簡略化できないものかと考え，maxima(Maxima-5.25.1)に計算させてみました．
XMaximaを起動させて，
load("simplify_sum")$
sum(sum(sum(a*b*c*(n-a-b-c),c,b+2,fix((n-2-a-b)/2)),b,a+2,fix((n-6-a)/3)),a,2,fix((n-12)/4));
simplify_sum(%);
と打ち込んで様子をみると，nだけでなく変数a，bが混じった式が表示されます．
nだけの式で表すことには失敗しているようです．
現在私は10^18(10の18乗)程度のnに対してのF(n)の正確な値を求める必要性に
迫られています．先のΣ記号を３つ使ったF(n)の式の計算量はnの多項式オーダー
なのですが，この式でF(10^18)の値を計算するのは時間がかかりすぎてどうにも
なりません．なにか良い計算法はないものでしょうか．
お礼
早速の解答、有り難う御座いました。他の方にも、解答をいただきましたが、１５分程の差であなたが一番早かったので、良回答とさせていただきました。