力学の問題です

質問

原点に静止していた質量ｍの雨滴が、単位時間にμの割合で周囲の静止していた水滴を取り込みながら重力場の中を落下してゆく。

(４)ｔ秒後の質量を求めよ。

力学の問題の一部です。

つまらなくてすいません。
なんとなく分かっているんですがね・・・

これを間違えていたら
次の微分方程式が間違いになってしまうので・・・

おねがいします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

雨滴が周囲の静止していた水滴を取り込むためには、雨滴には時間ではなく動くことが必要だと思うので、私としては何となく違和感があるのですが、
問題文の通り「単位時間にμの割合で」というモデルを立てるのであれば、
ｄｍ／ｄｔ　＝　μ　　・・・（あ）
という簡単な微分方程式になります。

（あ）を解きます。
ｄｍ　＝　μｄｔ
となり、積分して
∫ｄｍ　＝　∫μｄｔ
∫ｄｍ　＝　μ∫ｄｔ
となって、
ｍ　＋　Ｃｏｎｓｔ．　＝　μｔ　・・・（い）
次に、Ｃｏｎｓｔ．を求めます。
初期（ｔ＝０）の質量をｍo とすれば、
ｍo　＋　Ｃｏｎｓｔ．　＝　μ・０
Ｃｏｎｓｔ．　＝　－ｍo
これを（い）に代入して、
ｍ　－　ｍo　＝　μｔ
ｍ　＝　ｍo　＋　μｔ　　・・・（こたえ）
となります。

微分方程式まで立てて解いたわけですけど、
「ｍo円の箱に１個μ円のお菓子をｔ個入れた時の値段は？」
とでもすれば、小学生でも立てられそうな式ですね。

ご参考になりましたら幸いです。
どっか勘違いしていたらすみません。

お礼

積分までしてもらって分かり易かったです。

ありがとうございました！

回答No.1

yokkun831

>単位時間にμの割合で

「割合」は，（質量に対する割合の意味でなく）時間的変化率のことをいっているのでしょうから，すなおに読めば

m(t) = m + μt

でしょうね。

お礼

最初そう思いましたが
割合だから掛け算か？
と思ってしまって分からなくなっていました・・・

ありがとうございました！