MIT物理 振動・波動の問題 [ばね]

質問

MIT物理　振動・波動という本の中の問題なのですが、いまいち解き方がわかりませんので投稿させていただきました

伸びのない状態での長さMの針金の下端に質量mのおもりをつるしたとき、10^-3 Mだけ引き延ばされた。
同じ針金を同一線上、距離lだけ離れた2点A,Bに取り付け、針金の中点に同じ質量mのおもりをつるした。
中点が下がる距離および針金の張力はいくらか？

ばね定数まではもとまるのですが・・・

わかる方お願いします！

回答No.2

yokkun831

訂正です。

>cos(θ+Δθ)=(h+Δh)/(M/2+δ)　
は，同程度の微少量の比ですから

はヘンですね。いいたかったことは，

cos(θ+Δθ)=(h+Δh)/(M/2+δ)=2h/M・(1+Δh/h)/(1+2δ/M)
≒2h/M・(1+Δh/h-2δ/M) ≒2h/M

ということなのですが，どうもエレガントでありませんね。解答がわかれば察しがつくと思いますが，今のところいい加減な回答でごめんなさい。

回答No.1

yokkun831

>中点が下がる距離

自然長の場合からの変位をさしているものとします。
糸のばね定数　k = mg/(10^-3・M)　で，半分の長さの場合 2k　です。
10^3・M << M としてよいと思われます。

自然長からつりあいへの移行において，
張力がゼロからTになり，半分長の糸がM/2からδ伸び，おもりのABからの距離hがh+Δhになり，鉛直線からの糸の角度θがθ+Δθになったとします。このとき，
cos(θ+Δθ)=(h+Δh)/(M/2+δ)　
は，同程度の微少量の比ですからcosθとの差は無視できると思われます。
すると，
cos(θ+Δθ) ≒ cosθ = h/(M/2) = √{(M/2)^2 - (l/2)^2}/(M/2) = √(M^2 - l^2)/M
したがって，
T = mg/(2cosθ) = Mmg/{2√(M^2-l^2)}
一方，
T = 2kδ

h+Δh = √{(M/2+δ)^2-(l/2)^2} ≒ h{1+M/(2h^2)・δ}
となりますので，

Δh = M/(2h)・δ = MT/(4kh) ≒ 10^-3 M^3/{4(M^2-l^2)}

となりました。未整理で数学的な厳密性やエレガンスに欠けていると思いますが，物理シミュレーションソフトでの検証は終えています。