カタラン数について

質問

kが奇数とp+q=1となるp,qに対して

Σ[i=0～(k-1)/2]i/k*k!/(i!(k-i)!)*{p^i*q^(k-i)+p^(k-i)*q^i}
=Σ[i=1～(k-1)/2]i^(-1)*(2i-2)!/((i-1)!(i-1)!)*p^iq^i

が成り立つみたいなのですが、変形してもうまくいかなくて困っています。記号の扱いとしてΣ[i=1～(k-1)/2]はi=1から(k-1)/2までの総和、!は階乗を表しています。

よく見るとi^(-1)*(2i-2)!/((i-1)!(i-1)!)はカタラン数なのですが、左辺はもちろん、右辺から逆算してもゴチャゴチャしてしまいます。このような場合、変形をする上でいい方法はないのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

う～ん, 確かにイメージとしてはなりたつんだけど, どうしましょうかねぇ....
カタラン数を二項係数の差で書いてからゴニョゴニョするとなんとかなるのかなぁ?

お礼

回答ありがとうございます。

やっぱりすんなりとはうまくいきそうになさそうですよね…。
カタラン数を二項係数の差で表現して計算進めたいですけど心が折れそうですね…。。