数列の問題です。

質問

いつもお世話になっています。以下の問題なのですが、どなたか教えてください。

ｎが４以上の自然数の時、次の不等式を証明せよ。
　　　２＾ｎ≧ｎ＾２

よろしくお願いします。

回答No.2

ONEONE · ベストアンサー

数列の証明と言えば数学的帰納法だと思うので。

２＾ｎ≧ｎ＾２・・・（＊）

（＊）⇔２＾ｎ－ｎ＾２≧０
[1]n＝４のとき（＊）は成り立つ
[2]n＝ｋ（ｋは自然数、ｋ≧４）のとき（＊）が成り立つと仮定すると
２^ｋ－ｋ＾２≧０・・・☆
n＝ｋ＋１のときを考えると
２^(k+1)－(ｋ＋１）^2＝２・２^k－（ｋ＋１)^2＞２・ｋ^２－（ｋ＋１）^2　（∵☆）
＝ｋ^2－2ｋ－１・・・★
ｋ≧４のとき★＞０

よって２^(k+1)－(ｋ＋１）^2＞０
ゆえに２^(k+1)＞(ｋ＋１）^2

[1][2]より（＊）はn≧4のとき成り立つ。

多分大丈夫だと思うけど。

お礼

ありがとうございました!m(__)m
先生よりよく分かりました。頑張ってみます!!!

回答No.3

noname#24477

数学的帰納法による証明をよくやると思いますが
あえて別解としてこんなのはいかがでしょう。

2^n＝（１＋１）＾ｎ　として
二項定理を使って展開します。真ん中を省略して
最初と最後だけ３つずつ書くと
（１＋１）＾ｎ＝１＋ｎ＋nＣ2＋・・・・＋nＣ2＋ｎ＋１

ここでnＣ2＝n(n-1)/2　ですから全部たしてもらえば
n^2より大きいことがわかります。

ただしｎ＝４のときは展開式が５項しかありませんから
使えません。ｎ＝４の場合は別に計算しておきます。

お礼

よく分かりました★
ありがとぅございました☆

回答No.1

yontan

以下でどうでしょうか。

２＾ｎ≧ｎ＾２

両辺を、２を底にした対数をとる（logにつく小さい２は省略します）
→log(２＾ｎ) ≧ log(ｎ＾２)

→ｎ×log(２) ≧ ２×log(ｎ)

→ｎ／(log(n)) ≧ ２／(log(2)) ＝ ２

→log(２＾ｎ)／(log(n)) ≧ ２

→log(２＾ｎ － ｎ) ≧ ２

ｎが４のとき
log(２＾４ － ４)
＝log(１６ － ４)
＝log(12)
＝log(２＾２ × ３)
＝log(２＾２) + log(３)
＝２＋log(3) ≧ ２

２＾ｎ － ｎ　は増加関数だから、ｎ≧４ですべて正しい。

お礼

ありがとぅございました(^O^)
頑張りマス☆