ガウスの法則

質問

問)
半径が a と b の二つの同心の球殻がある(厚さは無視できる).
外の球殻は正の電荷+Q, 内側の球は負の電荷-Qをもつ.
(+-Qは総電荷であり電荷密度ではない)

1.(r>a)での電界E(r)をガウスの法則を用いて求めよ.
2.(b<r<a)での電界E(r)をガウスの法則を用いて求めよ.

という問題があります.

自分なりの答えを下に書きます.

1.(r>a)では+-が打ち消しあうので
E(r) = 0.
2.(b<r<a)では
電場の強さは
|E(r)| = Q/(4πεr^{2})
で方向は球の法線ベクトルの反対方向.

上のような答えになると思うのですが
あってますか?

答えがないので困っています.

回答No.2

sinisorsa

>中心が原点の半径 r (r>a) の閉曲面 s をとります
あなたの閉曲面Sがガウス面（ガウスの法則を適用する面）です。

ガウスの法則
∫E(r)・dS = Q/ε　積分面はS
ここで、E,r,dSはいずれもベクトルです。
上の式を適用する前に、電界の球対称性と電界の大きさは
スカラーｒだけの関数であること、方向はｒ方向であることを示す
必要があります。（ここの議論をしてください）
そうすれば、E,r,dSをスカラーとして、
　∫E(r)dS = Q/ε
と書けることになります。

回答No.1

sinisorsa

あなたの答えでは、どこでガウスの法則を使っているのか
分かりませんね。ガウス面をどう定めましたか？
ガウスの法則を使う上で大事なことは、導体の形状と配置や電荷分布
から、まず電界が導体球の中心の周りで、点対称となっていること、
中心からの距離の関数となることを示さなければいけません。
また、方向についても中心から放射状になること。すなわちベクトル
ｒの方向。
これらを示せば、ガウス面を簡単に定めることができ、
ガウスの法則の面積分が簡単に実行できます。
出題の先生がどこまで要求しているのか分かりませんが、
上のことをおろそかにすべきではないと考えます。

最後に、あなたの最終結果は正しいと思いますが、導出過程に
問題があります。

お礼

ごめんなさい問題の説明が少し抜けてました. 球殻の半径の関係は(b<a)です. 半径 b の球殻が半径 a の球殻の内側にあります. 両方の球殻の中心は一致します. つまり, ◎のようになってます.

すいません. 僕自身も電磁気学苦手なので理解ができてない部分が多いです. 導出過程は長くなるので省きました. 僕の導出過程では以下のようになりました.
また, 僕の使っている教科書にはガウス面なるものは出てこないようなのでわかりません.

導出過程
まず, 球殻の中心が両方とも原点にあるとします. すると
1.
中心が原点の半径 r (r>a) の閉曲面 s をとります.
この場合半径 b の球面上の-Q[C]と半径 a の球面状の+Q[C]を与えているので, 閉曲面 s の内側に含まれる電荷は Q+(-Q)=0[C] です.
したがって s についてガウスの法則を適用すると
∫E(r)n(r)dr = 0 ( n(r)は s の曲面上の法線ベクトル )
だから E(r) = 0
2.
中心が原点の半径 r (b<r<a) の閉曲面 s をとります.
この閉曲面 s にガウスの法則を適用します.

∫E(r)n(r)dr = Q/ε <---- ガウスの法則

(1)この閉曲面上の電界は対称性からどの場所でも一定である.
(1)から, E(r)は r に関わらず一定なので

左辺 = |E(r)|∫n(r)dr

(2)閉曲面 s 上の法線ベクトルを積分すると, それは球面の面積に等しい
(2)から, ∫n(r)dr = 4πr^{2}となる. したがって

左辺 = |E(r)|4πr^{2}

左辺 = 右辺 より

|E(r)| = Q/4πεr^{2}

点対称なのは球(導体??)の図を見れば自明なので示さなくても良いかと思ってます.
方向についても, +Q ～ -Q へ電気力線が向かうのは自明なので示さなくて良いかと思っています.

どっちにしろあまり難しい証明は省かないと僕は分かりません.
すいません.

ご回答ありがとうございました.