物理のガウスの法則の問題です。わからないことがあるのでお願いします

質問

物理のガウスの法則の問題です。わからないことがあるのでお願いします
全部書くと長くなるのである程度略してますが分かりにくかったらもう一度丁寧に書きます

内半径a1、外半径a2の球殻に一様な電荷密度ρが分布しているとし、
位置ベクトルをr、電場をEとします

で、こっからちょっとわからないのが
r<a1の時E=0なのは分かるんですがr≦a1の時もE=0なんでしょうか？
問題にはr≦a1の時Eは・・・と書いてるんですが
a1=rの時電荷があるので＝つけるのは変な気がするんですがよくわかりません

それと以前やった講義のを写したノートをみると
a1<r<a2の時電荷Qは
Q=4πρ/3(r^3 - a1^3)となっているんですが
なんで体積を用いてるんですか？
球殻なのでQ=4πρa1^2だと思うんですが・・・これもよくわかりません

以上です。よろしくお願いします

回答No.2

noname#185706 · ベストアンサー

>a1<r<a2の時電荷Qは　Q=4πρ/3(r^3 - a1^3)となっているんですがなんで体積を用いてるんですか？

電荷密度ρは単位体積あたりの電荷量です。半径 a1 ～ a2 の部分に電荷が一定の密度ρでべったりと分布しているとしているのです。それで、a1 < r < a2 のとき、
Q(<r) = 半径 a1 ～ r の部分の体積×ρ
となります。

>球殻なのでQ=4πρa1^2だと思うんですが

質問者さんは半径 a1 と a2 の面だけに単位面積あたりρの電荷が分布していると勘違いしているのではありませんか。

>a1=rの時電荷があるので＝つけるのは変な気がするんですが

上で引用した式で r → a1 の極限を考えると Q → 0 となることがわかります。r < a1 では明らかに Q = 0 ですから、r <= a1 で Q = 0 と書くことができます。別の言い方をすると、いま電荷は粒々のものではなく、連続的なものと考えており、r = a1 の「面」は体積が 0 なので（0×ρ=0より）「その面上には」電荷は存在しないのです。結局、r <= a1 で Q = 0 なので、ガウスの法則より、r <= a1 で E = 0 となります。

お礼

＞質問者さんは半径 a1 と a2 の面だけに単位面積あたりρの電荷が分布していると勘違いしているのではありませんか。
お恥ずかしながらまさにそう考えてました
わかり易い解説ありがとうございました！

回答No.1

sanori

こんにちは。

＞＞＞a1=rの時電荷があるので＝つけるのは変な気がするんですがよくわかりません

ｒ＝ａ１　の前後でＥがまったく不連続になることはないので、ｒ＝ａ１　では　Ｅ＝０　
としてよいです。
これは「境界条件」と呼ばれるもので、電磁気学以外でもよく出現します。
たとえば、熱伝導方程式もそうです。容器内部の空気や水の温度が一様に７０℃であるとき、容器の内側表面の温度も７０℃として計算します。

＞＞＞a1<r<a2の時電荷Qは
＞＞＞Q=4πρ/3(r^3 - a1^3)となっているんですが
＞＞＞なんで体積を用いてるんですか？
＞＞＞球殻なのでQ=4πρa1^2だと思うんですが・・・これもよくわかりません

中心の座標が等しく、半径がｒ１、ｒ２の円（ｒ２＞ｒ１）にはさまれた部分（ドーナツ）の面積は、
πｒ２^2　－　πｒ１^2　＝　π（ｒ２^2　－　ｒ１^2）
となりますよね。
これが三次元になっただけの話です。

お礼

ありがとうございます。
とてもよくわかりました