ガウスの法則を使ったある演習問題

質問

ある半径（a,b）の異なる二つの金属筒があり、この二つの筒に対して、電位差Vを与えた時、単位長さ当たりの電荷σはいくらか？

という問題があるのですが、その回答で、まずa<r<bを満たすrを設定し電場Eを考えるのですが、ガウスの法則から

E=Q/εS

と、ここまではいいのですが、

= σ/ε・2πr

と変形するのですが、ここが分かりません。2πrは、S(面積)なのでいいのですが、なぜQを単位長さあたりの電荷σに置き換えられるのでしょうか？ガウスの法則のQが総電荷のQ（ですよね？）なら、この置き換えはおかしいのでは？」と思ったのですが…。

よろしくお願いします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

電場Eとはその点で単位面積を貫く電気力線の本数ですよね。
そしてQ(C)の電荷からはQ/ε(本)の電気力線が出ますね。

ここでガウス平面を半径r、高さhの円筒としましょう。
ポイントとなるのは今回考える金属筒が無限の長さに伸びていることです。
そうすると対称性から円筒状のガウス平面の底面と上面を貫く電気力線は0になりますね。
ですから、ガウス平面内にある電荷から出た電気力線は円筒状のガウス平面の側面部を均等に貫くことになりますね。

ガウス平面の高さがhなので、ガウス平面内の電荷はh*σになります。そこから出る電気力線はh*σ/ε(本)です。
またガウス平面の側面部の面積は2πr*h(m^2)ですね。
結局、h*σ/ε(本)の電気力線が2πr*h(m^2)の面積を貫くわけだから、単位面積当たりの電気力線の本数は
　　{h*σ/ε}/2πr*h = σ/(ε*2πr)
となります。
ここで割り算をすることによって、ガウス平面の高さhが約分して消えてしまい、単位長さあたりの電荷が残るのです。

お礼

お返事遅れて申し訳ありません。
回答ありがとうございます。
おかげさまで解決しました！ありがとうございます。