ガウスの法則に関する問題

質問

ガウスの法則の適用に関する問題について質問です。

原点を中心とする同心の半径a,2aの導体球核があり、
それぞれが電荷量Qで帯電している。
導体の中心からの距離をｒと置いた時に

１、ガウスの法則を用いて電界をrの関数で求める
２、またその時の原点の電位
３、導体球核を導線で繋いだとき、それぞれの導体球核に
　　帯電する電荷量

以上のことについて知りたいです。

１は、ｒで場合分けをするのではないかと思うのですが
それ以降のガウスの法則の適用方法がわからないです。

2週間ほど悩んでいるのですが解決できません。

どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

まず、１をかたづけましょう。
ガウスの法則は、閉曲面Sを考えるときSから出ていく電気力線の数が
Sの内部にある電荷をqとして4πkq=q/ε本である、というものです。
したがって、１では場合分けの後に半径rの球面を考えて、その内部
の電荷がqならば、電界は単位面積当たりに出ていく力線の数に等しい
ので、E=4πkq/(4πr^2)=kq/r^2=1/(4πε)・q/r^2 となります。
たとえば、a<r<2aでは qをQとすればいいのです。また、r<aではE=0
になります。どうでしょう？

補足

迅速なアドバイス感謝します。

なるほど、ガウスの法則の解釈が今まで間違っていたようです。
早速ですが計算してみたところ
r<a ：E=0
a=<r<2a：E=Q/4πεr^2
2a=<r ：E=Q/2πεr^2
となりました。
２についてはこれは利用して解くのでしょうか？

回答No.3

yokkun831

３ですが…

a<r<2aの領域に電界があれば，導線内を電流が流れます。したがって
電界がゼロになるまで電荷は移動して，結果として内外の球殻は等電位
になりますね？　あらためてガウスの法則を逆に適用すれば，q1=0
およびq2=2Qを得ます。外殻の電荷は増えますが，内殻の電荷は散ら
ばったので，全体のエネルギーはより低い状態になって安定します。
これは内径a，外径2a（厚さa）の球殻と同じ状態であり，厚さを無視
できない独立した導体球殻では，電荷は外表面のみに現れるのです。
同符号の電荷はなるべく離れたいのですから，当然の結果ですね？

お礼

最後まで本当にありがとうございます。

なるほど、等電位になることを利用するんですね。
計算した結果もその通りになりました。感謝です。

回答No.2

yokkun831

外からせめていくのがわかりやすいでしょうか？
r>2aでは，電界は原点に2Qの電荷がある場合と変わりません。
ということは，r=2a～∞の電位は原点に電荷2Qがある場合のものを
求めればいいわけです。同様にr=a～2aは，原点に電荷Qがある場合と
電界は同じです。r=2aの電位と連続でなければなりませんから，
これを境界条件として電界を積分します。r<aでは電界がゼロですから
いたるところr=aと等電位になるのです。
基本は，V=-∫Edr ですね？

補足

2度目の回答ありがとうございます。
とてもわかりやすく、アドバイス通りにVを出すことが出来ました。

３について自分で考えてみたのですが、
内側、外側の導体の電荷量をq1,q2とした時に電荷の保存則から
q1+q2=2Q という式が出ました。
これともう一つ何かを出して連立方程式で答えを出すのではないのかと思ったのですが
それがわからない状態です。方針としてもあっているのでしょうか？