媒介変数表示での二階微分に関して

質問

媒介変数表示の二階微分を計算していたときに疑問がでたので質問します。
x，yがともにtの関数とします。
このときなぜyのxでの二階微分を、次のように計算してはならないのか教えてください。

d^2 y /dt^2
----------
d^2 x /dt^2

回答No.1

noname#158100 · ベストアンサー

まず１回微分は
dy/dx=

dy/dt
------
dx/dt です

それをxで微分すると、
d^2y/dx^2=

d (dy/dt )
--- (------)
dx (dx/dt ) 　になります。　

d^2 y /dt^2
----------
d^2 x /dt^2 　　　とは似ても似つかないですね。

まずd^2/dt^2 という表現は略記にすぎないので、順を追って意味で考えましょう。

お礼

回答ありがとうございます。
説明が不足していましたが、正しい計算方法はしっています。
僕自身ずっとそうやって計算してきたのですが、最近このような誤答をみつけました。

たしかに形式的に一回微分を
dy/dx
=(dy/dt)・(dt/dx)
=(dy/dt)(dx/dt)^-1
とすることが可能なら、

(d(dy/dt)/dt)・dt/d(dx/dt)
=(d(dy/dt)/dt)・(d(dx/dt)/dt)^-1
二階微分をこのように計算することも可能な気がしました。

正しい計算方法を知りたいのではなく。
なぜ、この計算でいけないのかが知りたいのです。
自分としては、中微分を考えてないからかなあと思っていますが、実際のところどうなのかを教えてください。

回答No.3

alice_44

A No.1 補足の考え方で、
(d(dy/dt)/dt)/(d(dx/dt)/dt) = d(dy/dt)/d(dx/dt)
までは行けますが、その先、変形のしようがありません。
上式の右辺は、d(dy/dx)/dx とは全く似ていません。
単に、根拠のない式変形をしてはイケナイということ。

もっと詳しく間違いの箇所を指摘して欲しければ、
間違った計算過程をもっと詳しく書かなくてはね。

お礼

しばらく考えたところ解決しました。
たしかに、この式さらに展開したらd^2 y/d^2 xとかいう謎の式になりますね。
最初から間違えてました。

回答ありがとうございます。

回答No.2

info22_

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)

d^2(y)/dx^2=
>(d^2 y /dt^2)/(d^2 x /dt^2)
これ↑↑は間違い

正しくは、以下のように計算します。

d^2(y)/dx^2
=d(dy/dx)/dx
=(d(dy/dx)/dt)/(dx/dt)
=(d((dy/dt)/(dx/dt))/dt)/(dx/dt)
=(((d^2(y)/dt^2)(dx/dt)-(dy/dt)d^2(x)/dt^2)/(dx/dt)^2)/(dx/dt)
=((d^2(y)/dt^2)/(dx/dt)^2)-(dy/dt)(d^2(x)/dt^2)/(dx/dt)^3

お礼

「あれ？こんなんだったっけ？」と式を凝視してしまいました。
分数の微分後（数式5行目）のかっこがひとつ足りないですね。
パソコンで入力するの大変だったと思いますが、ありがとうございます。

No.1の方にも書きましたが、
正しい計算方法を知りたいのではなく、この計算の誤りを知りたいのです。
よろしくおねがいします。

補足

お礼が編集できないようなのでこちらに。

>分数の微分後（数式5行目）のかっこがひとつ足りないですね。
すいません。僕の数え間違いでした。もうしわけありません。