皆さんはこんな数学の問題に疑問を感じた事ありませんか？？

質問

ｘについての２次方程式３ｘ＾２－２（a+1)x+a^2=0が0より大きく１よりも小さい異なる２つの実数解をもつとき、定数aのとりうる値の範囲を求めよ。

この問題でまず条件式を立てますよね。

その中の１つの条件でｆ（0)＞0という条件があります。

その時、a^2>0というのになり、僕はお互い２乗で割ってa>0としました。 しかし間違えでした。
２次方程式だったら普通にa^2=o だったらa=0ですよね。 ２次不等式はある程度は２次方程式と同じよう処理うることが可能ですよね。 でも、このように同じように処理できない場合もあるんですね。
２次方程式のように処理する時の注意点ってありますか？？

回答No.8

kenjoko

No.７です

誤解を招く箇所があるので一部補足します。

f(0) = a^2 = 0 、 f(1) = a^2 - 2a + 1 = 0　を　

f(0) = a^2 = 0 のとき　、 f(1) = a^2 - 2a + 1 = 0　 のときとします。

回答No.7

kenjoko

f(x)の判別式・・・異なる二つの実数解があるので

D = {-2(a+1) }^2 - 4*3*a^2　 ＞　０　から

(1 - √3 ）/ 2　＜　a ＜ (1 + √3 ）/ 2　・・・(1)

f(0) = a^2 = 0 　　　　 f(1) = a^2 - 2a + 1 = 0

0 ＜ x ＜ 1 　なので　 a≠0　、a≠1　　　　・・・(2)　よくここを見落とす

f(0)　＜ 　f(1)　のとき　　a^2 　＜　 a^2 -2a + 1 　より

　　　　　　　　　　　　　　　　　　a ＜ 1/2・・・(3)

同様に
f(0)　= f(1)　のとき　　 a = 1/2・・・(4)

　f(0) ＞ f(1)　のとき　 a ＞ 1/2・・・(5)　 　

(1)、(2)　を考慮して(3)、(4)、(5)　に場合分けして　a　の範囲を求める。

回答No.6

proto

不等式に関する注意ですが、不等式では両辺に負の数を掛けたり両辺を負の数で割ると不等号の向きが変わります。
例えば、
　　2 > 1
両辺に-2を掛けると
　　-4 < -2

また両辺を2乗する操作でも不等号の向きが変わる可能性があります。
(aを2乗するとはaにaを掛ける事だからです、aが負の数だったら即ち負の数を両辺に掛けていることになります)
例えば
　　-1 > -2
の両辺を2乗して
　　1 < 4

2乗して不等号の向きが変わることがあるのだから、平方根を取って2乗を消す時にももちろん不等号の向きが変わる事があります。
例えば
　　4 = (-2)^2 > 0
　　-2　<　0
さらに
　　4 = 2^2 > 0
　　2 > 0
でもあるので注意。

そもそも2も-2も2乗すると4になります。では逆に4=2^2を2乗で割ると言ったとき結果は2になるのか-2になるのか。
a^2の平方根を取るときにはそれに注意しなければなりません。2乗してa^2になる数はaと-aがあります。

回答No.5

R_Earl

ANo.4ですが、訂正です

> (1) 0 < f(0)
> (2) 放物線の頂点(または軸)が0 < x < 1の範囲にある
> (3) 0 < f(1)

(2)の条件が誤りです。
正しくはこうでした。

(1) 0 < f(0)
(2) 放物線の頂点(または軸)が0 < x < 1の範囲にあり、頂点のy座標が0未満
(3) 0 < f(1)

失礼しました。

回答No.4

R_Earl

> その時、a^2>0というのになり、僕はお互い２乗で割ってa>0としました。 しかし間違えでした。
> ２次方程式だったら普通にa^2=o だったらa=0ですよね。 ２次不等式はある程度は２次方程式と同じよう処理うることが可能ですよね。 でも、このように同じように処理できない場合もあるんですね。
> ２次方程式のように処理する時の注意点ってありますか？？

式変形をする前にちゃんと検算して確認することです。
自分がやろうとしている式変形が、本当に正しいのかどうかを常にチェックするんです。
今回だったらa^2 > 0を満たすaの値を何個か列挙して(-3, 5, 10000等)、
それがa > 0を満たすかどうかチェックすれば良いんです。
そうやって常日頃から確認していくと、どういった式変形がOKで、
どの式変形がNGなのかが段々身についていきます。

検算は、なるべく色々な種類の数を使って行う方が良いと思います。
例えば正の数、負の数、絶対値が大きな数、絶対値が小さな数、
分数、平方根等が考えられます。

ANo.1の方へ

> また、異なる実数解をm,nとすると、
> m+n=2(a+1)/3→0<m+n<2→-1<a<1/2
> mn=2(a^2)/3→0<mn<1→0<a<1

m = 0.5, n = 1.1という反例が存在します。
これは題意(0より大きく1未満の2つの実数解を持つ)を満たしません。

ANo.3の方へ

> (2)関数xに0を代入した後の式がf(0)>0ではなくてf(0)=0ですよね？多分判別式と思想がごっちゃになっているんだと思いますよ。

f(x) = 3x^2 - 2(a+1)x + a^2とおき、
y = f(x)のグラフを考えているのだと思います。
グラフで考えると3x^2 - 2(a+1)x + a^2 = 0の解は、
放物線とx軸の交点のx座標です。
その交点が2つとも、「x座標が0より大きく1未満」という条件を満たすなら、
グラフの形から

(1) 0 < f(0)
(2) 放物線の頂点(または軸)が0 < x < 1の範囲にある
(3) 0 < f(1)

という条件を満たします。
これを利用して解こうとしたのだと思います。

回答No.3

iesi14

取り敢えず問題点が三つ有るので指摘します
(1)a^2>0 は a>0でなく a≠0になります、ここでは実数解を求めるので虚数の可能性は考慮しなくてよいと…

(2)関数xに0を代入した後の式がf(0)>0ではなくてf(0)=0ですよね？多分判別式と思想がごっちゃになっているんだと思いますよ。

(3)そもそもx=0を定義しますとx=0の場合の解は出ますがx≠0の場合は考慮できていません。aは範囲なので求めたい解の広域は出ると思いますが、ここでは判別式を用いた方が的確に値を求められるでしょう。

以上です。

回答No.2

koko_u_u

>僕はお互い２乗で割ってa>0としました。

「お互い２乗で割って」の意味がわかりません。補足にどうぞ。

回答No.1

sotom

a^2>0→a>0。明らかにおかしいですね。
a=-1ならば？　今のところは負の数の存在に気をつけるべきですね。

判別式：D=(a+1)^2-3a^2=-2a^2+2a+1>0
2a^2-2a-1<0

また、異なる実数解をm,nとすると、
m+n=2(a+1)/3→0<m+n<2→-1<a<1/2
mn=2(a^2)/3→0<mn<1→0<a<1

っていうかf(0)>0の条件は、どう考えてもおかしいでしょう。
後はお任せします。計算が面倒くさい。