物理学の問題について・・・

質問

物体を初速Voで投げて前方αの距離に立っている鉛直な壁に直角にあたるようにするには、どの方向に投げるべきか。
また、当たった高さはねらった高さの半分に等しいことを示せ。

上記の問題なのですが、
答えは　仰角θ=1/2arcsin2ag/Vo~2の方向　なのですが
答えがどういった経緯で出てくるのかがわかりません。

わかる方、できるだけ詳しく解説おねがいします。

回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

やってみると見た目ほど優しくないですね。(-α,0)の位置から仰角θでy軸(x=0)に向かって投げたとします。この時狙った高さhは
h=αtanθ...(1)
です。一方投げられた物体の加速度は
d^2x/dt^2=0...(2)
d^2y/dt^2=-g...(2)'
速度はこれを積分して
dx/dt=const=Vocosθ(x方向のt=0の時の速度のまま）...(3)
dy/dt=-gt+const=-gt+Vosinθ（t=0の速度と下向き加速度による速度変化）...(3)'
となります。さらに位置座標はこれを積分して
x=Vocosθt-α(t=0でx=-α)...(4)
y=Vosinθt-(1/2)gt^2(t=0のときy=0)...(4)'
となります。
壁に垂直にぶつかるのですからx=0になった時に、y軸方向の速度はゼロです。(4)よりぶつかる時刻はx=0とおいて
t=α/Vocosθ...(5)
となります。この時刻を(3)'にいれたときにdy/dt=0になっているはずです。即ち
dy/dt=0=Vosinθ-g(α/Vocosθ)...(6)
となります。これより
Vo^2sinθcosθ-gα=0
sin2θ=2gα/Vo^2...(7)
(7)の意味するところは
θ=(1/2)arcsin(2αg/Vo^2)...(8)
です。
さて壁にぶつかる高さは(5)の時刻のyの値です。(5)を(4)'に代入して出てくるyの値をh'とすれば
h'=αtanθ-gα^2/(2Vo^2cos^2θ)...(9)
となります。(7)でsin2θが分かっていますからこれからsinθ, cosθを計算して(9)に入れてやれば結果はでます。泥臭くてよいのならcosθ=τとおいて、sin2θ=2cosθsinθなることを考慮して
2τ√(1-τ^2)=2gα/Vo^2...(10)
を計算します。(10)の両辺を2乗して
τ^4-τ^2+α^2g^2/Vo^4=0
からτが出ます。cosθとsinθを決めます。結果を書くと、表示が見難くて申し訳ないですが、
cosθ={(1+(1-4α^2g^2/Vo^4)^(1/2)}^(1/2)=(1/2)[{1+2αg/Vo^2}^(1/2)+{1-2αg/Vo^2}^(1/2)]...(11)
sinθ={(1-(1-4α^2g^2/Vo^4)^(1/2)}^(1/2)=(1/2)[{1+(1+2αg/Vo^2)^(1/2)}-{1-2αg/Vo^2}^(1/2)]...(12)
となります。(11)と(12)を(9)に代入してやります。(9)の第一項のαtanθが(1)に一致しているので項別に計算します。（代入だけなので途中省きます。）
第一項=αtanθ=(Vo^2/2g){1-(1-4α^2g^2/Vo^4)^(1/2)}...(13)
これは狙った高さでもあります。
第二項=gα^2/(2Vo^2cos^2θ)=(Vo^2/4g){1-(1-4α^2g^2/Vo^4)^(1/2)}...(14)
これは第一項の丁度半分です。(1)の値から、その半分を引いた値ですから狙った高さの半分のところに当ります。

お礼

とても詳しく書いて下さってありがとうございます。

二人の解答を元に解いてみたのですが、微分や積分を使うことなく答えをだすことができたのですが、これでよかったのでっしょうか？

明日、解説するのでなんとかなればいいのですが・・・

解答をくれた方のおかげでなんとか解くことができました。ありがとうございました。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

水平（x）方向にα進んだときに、速度の鉛直（y）成分が0ならよい。
x方向にα進むのにかかる時間をy方向の速度の式に入れて・・・