ひし形に内接する正方形の一辺の求め方

質問

ひし形ABCDで、二つの対角線AC, BDの長さはそれぞれ12, 8である。このひし形に内接する正方形EFGHの一辺の長さはいくらか。
という問題を解いていたのですが、どうもわからないので、回答を見てみました。
解答
DH:HC=a:1-aとする
EH=aAC=12a
HG=(1-a)DB=8(1-a)
EH=HGなので
12a=8(1-a)
20a=8
a=2/5
よってEH=12*2/5=4.8
となっていました。

そこで疑問なのですが、「DH:HC=a:1-aとする」という発想はどういうところから生まれるのですか。
なぜ１という数字が出てくるのかがわからないので教えてください。

回答No.2

po-pen · ベストアンサー

「なぜ１という数字がでてくるか」ということについて、
比の性質を使っています。

辺ＤＣをＤＣ＝１としています。１(cm)ではなく、仮に１としているだけです。
辺ＤＣ＝１のときＤＨ＝a とするとＤＣ：ＤＨ＝１：a　と表せます。

どうしてかというと、もし、
辺ＤＣ＝b(cm)としてＤＨ＝c(cm)とするとＤＣ：ＤＨ＝b：c　ですが、
前の項、後ろの項を（0でない）bで割ると
ＤＣ：ＤＨ＝b/b：c/b＝1:c/b
となり１がでてきます。
なぜなら比は前の項と後の項に0以外の同じ数でかけたりわったりしても比としてはかわらないからですね（例えば、2:4も1:2も500:1000も、2:4＝1:2＝500:1000で比としては等しいから）。

後の項c/b＝aとしておけば
ＤＣ：ＤＨ＝１：a
と表現できます。

あとはＨはＤＣ上の点ですから
ＨＣ＝ＤＣ－ＤＨ
　　＝1－a
と表すことができます。
あくまでも長さでなく比としてＨＣ＝１－aと表されるということです。

全体を１とおくこの方法は長さがわかっていなくても、文字１つで長さの比を表すことができる方法でよく使います。
（逆に全体ではなくＤＨ＝１とおいて、全体をaとおくこともできます。）
これは小学生のときの比の考えでが小学校では比で文字は扱わないので唐突に中学や高校ででてくると戸惑ってしまいますよね。

回答No.4

htms42

Ｅ、Ｆ、Ｇ、ＨをそれぞれＡＢ、ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上の点とします。
いきなり正方形というのは分かりませんから長方形とします。この長方形のＥＦ，ＧＨは対角線ＡＣに平行です。ＦＧ，ＨＥは対角線ＢＤに平行です。
この条件からＥの位置を決めると残りのＦ、Ｇ、Ｈの位置が決まってしまいます。
ＥをＡＢ上のどこに置けばいいのかです。
これは比で決まります。
ＡＥ：ＥＢ＝ａ：ｂ
と置いてかまいません。
全体に対する比率が必要になるときがあります。
ＡＢ：ＡＥ＝(ａ＋ｂ)：ａ＝１：ａ／(ａ＋ｂ)
ＡＢ：ＥＢ＝(ａ＋ｂ)：ｂ＝１：ｂ／(ａ＋ｂ)
です。
(ａ／(ａ＋ｂ))＋(ｂ／(ａ＋ｂ))＝１
が成り立ちます。

これを見越して初めから比を
ＡＥ：ＥＢ＝α:β
α＋β＝１
と置いても同じ事になります。

回答No.3

mister_moonlight

＞ひし形に内接する正方形の一辺の求め方

比に拘らずに、面積で解いてみよう。

ＡＣとＢＤの交点をＯ、ＡＢ上の点をＥ、ＡＤ上の点をＨ、ＡＯ上の点をＭ、ＢＯ上の点をＮとし、ＥＭ＝ＥＮ＝ＭＯ＝ＮＯ＝xとする。（0＜x＜4）
△ＡＢＯ＝△ＡＥＭ＋△ＢＥＮ＋正方形ＥＭＯＮ　‥‥(1)
△ＡＢＯ＝12、△ＡＥＭ＝（x/2）*（6-x）、△ＢＥＮ＝（x/2）*（4-x）、正方形ＥＭＯＮ＝x＾2　　‥‥(2)
(2)を(1)に代入すると、12＝（x/2）*（6-x）＋（x/2）*（4-x）＋x＾2　。
これを解くと、x＝12/5であるから、0＜x＜4という条件を満たす。
よって、求める正方形の1辺は、対称性により　2x＝24/5。

回答No.1

Quattro99

HはCD上で内接する頂点ですか？

DH:HCを置いているのは、△DEHと△DACが相似だからだと思います。

aと1-aと置いているのは、足すと1になるので、EH=aAC=12aが計算しやすいからだと思います。CD:DH=1:aと置いていると考えた方がわかりやすいかも知れません。

もちろん、CD:DH=a:1と置いてもかまいません。ただ、この問題ではわかっているのがAC、BDなのでこれらを含む三角形の辺のほう（ここでは三角形ACDの辺CD）を1と置いた方がその後の計算が簡単だろうということです。