スカラー場における面積分

質問

閲覧ありがとうございます。　
わからない箇所があるので質問させてください。

関数fが半径aの球面Sにおいて一定で,f(x,y,z)=bのの時
∫[s]fdsの面積分を求める問題です。

わからないのはこの面積分によって求めたものは何かということです。面積分は体積を求めるものと見た気がするのですが、この場合は何を求めているのでしょうか?

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

>この面積分によって求めたものは何か

単に，球面S上におけるスカラー量fの積算でしょう。

たとえば，

地球表面Sにおいてfを海の深さとすれば，∫[s]fdsは海水の体積。
ただし，深さが地球半径に比して十分小さいことを見越しての計算です。問題の答え4πa^2 bは，厚さbの球殻の体積の近似値になります。

一方，もしfが人口密度であれば，∫[s]fdsは厳密の意味で世界人口になるでしょう。

>面積分は体積を求めるものと見た気がするのですが、

上の例のように，fが「高さ」に相当する量であれば，面積分はまさに体積（の近似）になりますが，一般には「体積を求めるもの」とはいえませんよね？