面積分の問題が分かりません

質問

面積分の問題が分かりません
平面6x+3y+2z=6がx=0 , y=0 , x+y=1で切りとられてできる領域をSとすると
Sに関する f(x,y,z)=x+z の面積分の値を求める問題なんですが
求め方がわかりません
よろしくお願いします

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

いや、普通に…

S 上の点 p = (x,y,z) を、x,y をパラメータとして表すと、
p = (x,y,(6-6x-3y)/2) となる。

したがって、面素は、
|S| = |(∂p/∂x)×(∂p/∂y)|
= |(1,0,-3)×(0,1,-3/2)|
= |(3,3/2,1)|
= 7/2。

よって、f の面積分は、
∫[p∈S] f(x,y,z) |S| dx dy = ∫[p∈S] (x+z)(7/2) dx dy
= (7/2) ∫[0≦y≦1] ∫[0≦x≦1-y] { x + (6-6x-3y)/2 } dx dy
= (7/2) ∫[0≦y≦1] (4-5y+y^2)/2 dy
= (7/2)(11/12)
= 77/24。

お礼

ありがとうございます。