面積分の計算

質問

授業でやった面積分の問題でわからないところがあったので、できれば教えてもらいたいです。

１．曲面ｚ=2-x^2-y^2 のx≧0、ｙ≧0、z≧0にある部分をSとする。
面積分　∬(x^2＋y^2)dS　を解け。
という問題なのですが、例題を参考にして
r=(ｘ、ｙ、2-x^2-y^2)　、　dS=｜∂r/∂x × ∂r/∂y｜dxdy
として計算してみたのですが、どうもうまくいきません。
計算が違うのか、他の解き方なのかわかりませんが、どなたか分かる方がいたら教えて下さい。

それと、もう1つ
２．X=(xz、xyz^2、3z)とする。Sを円錐z^2=x^2+y^2と平面z=2に囲まれた領域を全表面とする。この領域の外部をSの正の向きとしたとき、次を計算せよ。
∬ X・n dS　（nは外向き単位法線ベクトル）
という問題で、これはよくわかりません。
nをどうやって考えたらいいのかがよくわからないので、そこから先に進めません。どなたか分かる方がいたら、ヒントでもよいので教えてもらえないでしょうか？

長々とすいませんでした。よろしくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#2です。
A#2の回答でお書きした積分はSで囲まれた部分の体積です。
質問者さんの質問の面積積分ではありませんので下記の面積積分
の解答に差し替えてください。
訂正のお願いとお詫びをさせて頂きます。

1.
∂r/∂x × ∂r/∂y
=(1,0,-2x)×(0,1,-2y)
=|i_j_k; 1_0_-2x; 0_1_-2y|
=(2x,2y,1)
|∂r/∂x × ∂r/∂y|=√{4(x^2)+4(y^2)+1}
I=∬_S*{x^2+y^2}dS
=∬_Ω*(x^2+y^2)√{4(x^2)+4(y^2)+1}dxdy
Ω：2-x^2-y^2≧0,x≧0,y≧0
x=r*cosθ, y=r:sinθで置換
I=∫[θ:0,π/2]∫[r:0,√2]*(r^2)[{4(r^2)+1}^(1/2)]*rdrdθ
=(π/2)∫[r:0,√2]*(r^3)[{4(r^2)+1}^(1/2)]*dr
=(π/2)(1/120)[{6(r^2)-1}{4(r^2)+1}^(3/2)]|[r:0,√2]
=149π/120

これは#3様の計算結果と同じになります（合っていることを確認する
結果になりました）。

回答No.3

Mr_Holland

合っているか自信がありませんので、参考程度に。

　先ず、２つの問題とも、＃１さん、＃２さんと同様に、円柱座標に変換したほうがよいと思います。

　１．の問題の場合、曲面Ｓは回転放物面４等分したものになっています。この回転放物面の最大の半径は、ｚ＝０のときで√2で、頂点は(0,0,2)になっています。
　また、r^2=x^2+y^2とすると、
　　ｚ=2-r^2、　dz=-2rdr
となります。
　したがって、求める面積分は、
　　∬r^3・drdθ√{1+(dz/dr)^2}
　＝[r=0→√2]∫r^3√{1+4r^2}dr・[θ=0→π/2]∫dθ
　＝π/2×[r=0→√2]∫r^3√{1+4r^2}dr
　＝149π/120
　　（r=1/2・tanφなどとおくと、簡単に定積分できます。）

　２．の問題については、円錐の底面と側面とに場合分けして求めます。

(1)　円錐の底面：x^2+y^2=r^2≦4、ｚ=2での外向きの単位法線ベクトルは、ｚ平面の法線に平行なので、すぐに(0,0,1)と分かります。
　このときのベクトルＸとの内積は、
　　X・n＝(xz、xyz^2、3z)・(0,0,1)＝3z
となりますので、これを円錐の底面で面積分すれば
　　∬ X・n dS
　＝[r=0→2]∫3zrdr・[θ=0→2π]∫dθ
　＝[r=0→2]∫3・2・rdr・2π　（∵z=2)
　＝24π
と求められます。

(2)　次に、円錐の側面：z^2=x^2+y^2=r^2、0≦z≦2の場合を考えます。
　このときの外向きの単位法線ベクトルｎは、rz平面上では(1/√2,-1/√2)であり、xy平面上では(x/z√2,y/z√2)となるので、xyz空間では(x/z√2,y/z√2,-1/√2)となることが分かります。
　このときのベクトルXとの内積は、
　　X・n＝(xz、xyz^2、3z)・(x/z√2,y/z√2,-1/√2)
　　　　＝(x^2+xy^2z-3z)/√2
　　　　＝{r^2・(cosθ)^2+r^4・cosθ(sinθ)^2-3r}/√2
　　　　＝{r^2・(cosθ)^2+r^4・cosθ-r^4・(cosθ)^3-3r}/√2
　　　　＝{r^2・(1+cos2θ)/2+r^4・cosθ-r^4・(3cosθ+cos3θ)/4-3r}/√2
となりますので、円錐の側面での面積分は、
　　∬ X・n dS
　＝∬{r^2・(1+cos2θ)/2+r^4・cosθ-r^4・(3cosθ+cos3θ)/4-3r}/√2・rdrdθ√{1+(dz/dr)^2}
　＝[r=0→2]∫dr・[θ=0→2π]∫dθ{r^3・(1+cos2θ)/2+r^5・cosθ-r^5・(3cosθ+cos3θ)/4-3r^2}　　（∵側面ではdz/dr=1)
　＝[r=0→2]∫dr・(πr^3-6πr^2)
　＝-12π
と得られます。
　この結果を、(1)で求めた面積分の結果と合わせたもの
　　∬ X・n dS＝24π-12π＝12π
が求める面積分の結果になると思います。

回答No.2

info22

＞として計算してみたのですが、どうもうまくいきません。
＞計算が違うのか、他の解き方なのかわかりませんが
ここで質問する場合あなたの解を分かる範囲で書いて、分からない所について個別に質問する仕方をして頂かないと削除対象になる恐れがあります。丸投げの質問にすると削除対象になります。

前半だけでも解を書いておきますので、もう一度授業の教科書を復習して曲がりなりにも自力で解答を作れるようにして下さい。

I=∬[D](x^2＋y^2)dx,dy
D={(x,y)|x≧0、ｙ≧0、2-x^2-y^2≧0}
x=r*cosθ,y=r*sinθ
ヤコビアン|J|=(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂x/∂θ)(∂y/∂r)=r
dxdy=rdrdθ
x^2+y^2=r^2
D→D'={(r,θ)|0≦r≦2,0≦θ≦π/2}
I=∬[D'](r^3)drdθ
=∫[0→π/2]*1dθ∫[0→2]*(r^3)dr
=(π/2)[(r^4)/4]*[0→2]
=(π/2)[16/4]=2π

回答No.1

YHU00444

とりあえず、x,yを極座標変換したら最後まで計算できるはずです。
2番も場合分けして片方を極座標のパラメーターθで表せばOK。（あとは1と同じ要領で計算）

お礼

極座標変換ですね、ありがとうございます。
さっそく考えてみます。