面積分の計算

質問

原点中心の半径Rの球面をSとします。
n↑はSの内部から外部に向かう単位法線ベクトルです。

n↑=r↑/R　a↑=αx(i↑)+βy(j↑)+γz(k↑)
において、
∬s(a↑)・(n↑)dSを求めるのですが、
r↑=x(i↑)+y(j↑)+z(k↑)から、
∬s(a↑)・(n↑)dS={∬s(αx^2+βy^2+γz^2)dS}/R
まではできました。

ですが、ここからどうすればいいのか分かりません。
変数変換をするのかなと思っているのですが。

わかる方、お願いいたします。

回答No.2

F_P_E · ベストアンサー

おはようございます。

至らず申し訳ないです。

本当のことを申し上げますと、x(i↑)等もよくわかりませんが、現時点で私が考えたのは以下のようです。

r↑=x(i↑)+y(j↑)+z(k↑)とあることから、恐らく

x(i↑) = (Rsinθcosφ,0,0)
y(j↑) = (0,Rsinθsinφ,0)
z(k↑) = (0,0,Rcosθ)

であると考えられます。これは3次元直交座標系(x,y,z)から3次元極座標系(R,θ,φ)への座標変換です。

きっとこの座標変換がこの問題のミソというか、ポイントというか、と考えます。

すると

(αx^2+βy^2+γz^2)/R (≡ R*f(θ,φ))

は計算できますね。x^2=R^2*sin^2θ*cos^2φとかです。計算はご自分でなさってください。ここではその計算結果をR*f(θ,φ)と書かせていただきます。すると面積分は

R*∬s f(θ,φ)dS　…(#)

となります。ここで3次元極座標系でSの微小面積は

dS = R^2*sinθdθdφ

と表せるのはわかっているものとして、

(#) = R^3*∫_[0,2π]dθ∫_[0,2π]dφ {f(θ,φ)}

となります。ここで、積分の書き方が見難いかもしれませんが、”_[,]”は積分範囲を表しています。つまりはf(θ,φ)という関数をθ、φともに[0,2π]という範囲で積分をしてくださいということです。

お礼

ありがとうございました。何とか努力してみます。

回答No.1

F_P_E

はじめまして。

初めにs(a↑)という関数は、スカラー関数ですか？それともベクトル関数ですか？

＞∬s(a↑)・(n↑)dSを求める

とありますが、このときの積分領域というのはSです。一方でa↑は積分領域とは全く無関係なベクトルなようなので、

∬s(a↑)・(n↑)dS = s(a↑)・∬(n↑)dS = s(a↑)・0↑ = 0

ではないのでしょうか。

ついでに、x(i↑)はx方向の単位ベクトル(1,0,0)だと思うのですが、すると、r↑=x(i↑)+y(j↑)+z(k↑)は間違いですね。

補足

すいません。書き方が微妙でした。∬s(a↑)・(n↑)dSは、厳密に書けば∬s(a↑(r↑))・(n↑)dSです。ベクトル場a↑(r↑)=αx(i↑)+βy(j↑)+γz(k↑)のS上での面積分です。sは∬の右下に小さく書いたつもりです。問題自体理解できていないので何とも言えませんが、∬s(a↑(r↑))・(n↑)dS={∬s(αx^2+βy^2+γz^2)dS}/Rまでは解答に書いてあります（＝正しい）ので、そこから問題の意図も理解していただけるとありがたいです。問題そのままを書くことに抵抗があったので省略して書いてしまいました。