ベクトル解析における発散演算の表式

質問

数学よりも物理工学系で取り扱う場合、ベクトル場F(=(fx, fy, fz))の発散は、d(fx)/dx+d(fy)/dy+d(fz)/dzと習うと思います。しかし、これは直交デカルト座標という特殊な座標（基底ベクトルが直交しかつ空間のどこでも一定）でのことだと思います。だから、これを定義だと思ったらダメなのではないかと思います。
一方で曲線座標系（直交曲線座標含む）では、基底ベクトルはローカル的であり、それ自体が座標系に従って変化する（微分がゼロでない）わけで、上記の式のようなわけには行かないと思います。

では、どのように定義されるのかウィキで調べると、座標面に対する法線方向ベクトルとの内積の面積積分のように示されており（ガウスの発散定理のようなもの）、それが根源的なものかと思いますが、それだと曲線座標系での表現ができません。曲線座標系で考える場合、ベクトル場の発散を座標系に依存しない形（ベクトル？）で表現し、それを各座標系版に示せば良いということになるようです。その場合、スケールファクターh(基底ベクトルが長さ１の単位ベクトルであるために長さ除すもの)などが多数現れるわけですが。

例えば∇・Fということでしょうか。∇（ナブラ）の曲線座標系での表現はどうなるかという問題はありますが。またベクトル場Fの方は実体は座標系に依存しませんが、表現は曲線座標系（局所的な基底で展開された表式）を用いて表示するものだと思いますが。

長くなってしまいましたが、曲線座標系や直交デカルト座標での発散の表式を求めるための式はどのように示されるのでしょうか。

直交曲線座標系の発散の式は誘導されて結果の表式はあるのですが、それがどのように誘導されるのか知りたいのでその表現の一歩前の式を知りたいと思っているのです。

よろしくお願いします。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

「座標系と微分演算子」
http://www.akita-nct.ac.jp/yamamoto/study/electromagnetics/coodinate_transform/html/index.html

お礼

サイトのご紹介ありがとうございました。

このサイトに紹介されている方法は、幾何学的・図式解説的になっています。図式を用いない方法で説明することは可能でしょうか。
巽友正著 流体力学（培風館）の付録(P.417)以降にその説明が書いてあります。P.418の5行目まではさらりと理解できますが、6行目の以上の結果から...以降がスレッドを追いかけることができません。
p.418の5行目までの材料を用いて、それ以降が誘導されると言っているのです。説明が図式的ではなく、数式の処理として、発散、回転、ひずみ速度テンソルの成分の表式が誘導されています。

図式と数式は裏表の対応関係がつくはずなのですが、私にはクリアになっていません。

この部分の解説を何処かに求めることはできないかなというのが本当の目的です。質問はこの本とは独立にできるだけ一般的に示そうとしてあのような文章になりました。

以上、よろしくお願いします。