直交曲線座標系の発散

質問

直交曲線座標系の発散の式の誘導についてお尋ねします。
まず、発散を座標系に無関係に定義して、それについて直交する曲線座標という条件をつけて式形を誘導するというのが希望なのですが。
直交曲線座標とはその例として極座標、球座標、円筒座標などが含まれてます。とにかく、曲線の接線が直交していればいいわけですね。
前述どおり極座標は、直交曲線座標の特別なもので、極座標という条件を直交曲線座標に付与することで誘導されます（ここは至極簡単そう）。その前段階の直交曲線座標での一般式形なのですが。よろしくお願いします。

回答No.2

bran111

流体力学の付録のベクトル解析じゃ一般直交座標のベクトル解析をまともには扱わないのが当然でしょう。本屋に行くなり、ネットで調べてちゃんとした本を入手してください。下記のサイトはまとものように思われますが要は自分の納得できる資料は自分で探してください。

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/20vectr/050vct.html

お礼

回答ありがとうございます。上記のサイトは明解にロジックが展開されています（説明に"飛び"がない）。
具体的な箇所は、
［９］　発散　[具体例確認→］以下から[*]でリンクされ、
付録資料(?)の直交曲線座標系での発散　の下の
5-2　直交曲線座標(補足・証明)
のところで発散というものが座標系によらずに明示（定義）されています。

今まで、テンソル解析、ベクトル解析の本を読んできましたが、ここまで明解な説明は一部を除いて見たことがありません。この説明資料を整理された方はおそらく今までの本の"飛び"の部分を埋めようとされたのではないかと思います。たいへん満足しました。

回答No.1

bran111

ベクトル解析の本で一般的な直交座標系のgrad,rot,div等の微分演算子の話を載せていないほうがマイナーでしょう。urlを見ても飽きるほどあります。

http://itpass.scitec.kobe-u.ac.jp/~ykawai/project/orth_curv_coordinate.pdf

お礼

回答ありがとうございます。
ご指摘のようにどの本にも書いてあります。しかし、どのように導入されているかというところは考え方が分かれるように思います。ベクトル解析の本の冒頭から曲線座標系が説明されている本というのはあまりないと思います。冒頭はたいてい直交デカルト座標のだろうと思います。後方の章とか、巻末に直交曲線座標が結果だけ載せているというのが多いのではないでしょうか。一般曲線座標に触れている本になるとグッと減ってくるように思います。一般の方は仕方がないとして、直交曲線座標と直交デカルト座標では、当然ながら直交曲線座標は直交デカルト座標を包含しているので、直交曲線座標の発散の導入が先で、その後、直交デカルト座標の発散がその特殊な例として導入される（演繹的に）べきだと思うのです。一般曲線座標はさらに直交曲線座標の一般化だから本来はさらに、そちらの導入が先のはず。
数学なので演繹されることにしか意味がない（帰納は演繹を補佐するだけ）と思うのです。とにかく、”こうなる”という風に表示されるのではなく、”だからこうなる”と書いてあるものを求めているのですが。紹介いただいた文献はその傾向に合致している面があります。

補足

回答示されたURLの説明資料を拝見しました。この説明資料は培風館の巽友正著の流体力学の巻末pp.417,418の方向性と同様のアプローチのようです（以下巽流体と略称）。巽流体のpp.418には６行目に”以上の結果から..div uは(A.5)となる。”ということが書いてあり、先の文献の８ページの第２式から第３式に行くところがまさにその部分に対応するのです。巽流体の方は、”以上の結果から発散はこうなる”というところがすんなり通れません。”以上の結果”と称する様々な関係式を見ても発散の式が誘導できないからです。そこで、先のPDF文献ではハミルトン演算子はこのようになり、発散とはベクトルにハミルトン演算子を作用させたものであるから、こうなる、というロジックです。つまり、発散とは各座標系におけるベクトルにその座標系のハミルトン演算子を作用させたものである、ということになりますが、そのことがどこかに明言・明示されているのでしょうか。勾配、回転もそれと同様に座標系に依存しない明確な定義が示されているものなのでしょうか。